Cho tam giác ABC vuông tại A , kẻ tia phân giác của góc ABC cắt AC tại D . Qua D
kẻ DH vuông góc với BC tại H .
a) Chứng minh ABC dồng dạng với HDC
b) Kẻ AE vuông góc với BC tại E . Gọi giao điểm của BD và AE là I .
Chứng minh: BA BI BE BD    và BC HC
BA HE
 .
c) O là giao điểm của BD và AH . Qua B kẻ đường thẳng song song với AH cắt tia CA tại
N . Chứng minh tia CO đi qua trung điểm của BN .

Question

Accepted Answer

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ đi qua từng phần một cách chi tiết.

a) Chứng minh tam giác $ \triangle ABC $ đồng dạng với tam giác $ \triangle HDC $

Chứng minh:

- Tam giác $ \triangle ABC $ vuông tại $ A $, do đó $ \angle BAC = 90^\circ $.
- Tia phân giác $ BD $ của góc $ \angle ABC $ chia góc này thành hai góc bằng nhau, tức là $ \angle ABD = \angle DBC $.
- Trong tam giác $ \triangle HDC $, $ DH $ vuông góc với $ BC $ nên $ \angle DHC = 90^\circ $.

Xét hai tam giác $ \triangle ABC $ và $ \triangle HDC $:

- $ \angle BAC = \angle DHC = 90^\circ $.
- $ \angle ABC = \angle HDC $ (vì $ \angle ABD = \angle DBC $ và $ \angle ABC = \angle ABD + \angle DBC $).

Vậy, hai tam giác $ \triangle ABC $ và $ \triangle HDC $ có hai góc tương ứng bằng nhau, nên chúng đồng dạng theo trường hợp góc - góc (g-g).

b) Chứng minh $ BA \cdot BI = BE \cdot BD $ và $ \frac{BC}{BA} = \frac{HC}{HE} $

Chứng minh:

- Xét tam giác $ \triangle ABE $ và $ \triangle DBI $:
  - $ \angle AEB = \angle DIB = 90^\circ $ (vì $ AE $ và $ DI $ vuông góc với $ BC $).
  - $ \angle ABE = \angle DBI $ (vì $ I $ là giao điểm của $ BD $ và $ AE $).

Do đó, hai tam giác $ \triangle ABE $ và $ \triangle DBI $ đồng dạng theo trường hợp góc - góc (g-g), suy ra:

$$
\frac{BA}{BD} = \frac{BE}{BI}
$$

Từ đó, suy ra:

$$
BA \cdot BI = BE \cdot BD
$$

- Xét tam giác $ \triangle BAE $ và $ \triangle BHC $:
  - $ \angle AEB = \angle HCB = 90^\circ $.
  - $ \angle ABE = \angle HBC $ (vì $ \angle ABC = \angle HDC $ và $ \angle ABE = \angle HBC $).

Do đó, hai tam giác $ \triangle BAE $ và $ \triangle BHC $ đồng dạng theo trường hợp góc - góc (g-g), suy ra:

$$
\frac{BA}{BC} = \frac{HE}{HC}
$$

Vậy, $ \frac{BC}{BA} = \frac{HC}{HE} $.

c) Chứng minh tia $ CO $ đi qua trung điểm của $ BN $

Chứng minh:

- Gọi $ O $ là giao điểm của $ BD $ và $ AH $.
- Kẻ $ BN \parallel AH $, do đó $ \angle BNO = \angle AHO $ và $ \angle NBO = \angle HAO $.

Xét hai tam giác $ \triangle BNO $ và $ \triangle AHO $:

- $ \angle BNO = \angle AHO $ (vì $ BN \parallel AH $).
- $ \angle NBO = \angle HAO $ (vì $ BN \parallel AH $).

Do đó, hai tam giác $ \triangle BNO $ và $ \triangle AHO $ đồng dạng theo trường hợp góc - góc (g-g).

Vì $ O $ là trung điểm của $ AH $ (do $ BD $ là phân giác và $ AH $ là đường cao), nên $ CO $ đi qua trung điểm của $ BN $.

Vậy, tia $ CO $ đi qua trung điểm của $ BN $.

Cho tam giác ABC vuông tại A , kẻ tia phân giác của góc ABC cắt AC tại D . Qua D kẻ DH vuông góc với BC tại H . a) Chứng minh ABC dồng dạng với HDC b) Kẻ AE vuông góc với BC tại E . Gọi giao điểm của...