giưps mik vs Bài tập 1: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau trên đoạn đã chỉ ra,$V\underline a)~y=f(x)=x^3-33x$ trên đoạn $[2;19]$ $Jb)~y=f(x)=x^3-3x^2+3$ trên đoạn $[1;3]$,$\underline c)~f(x)=\frac{x^2+3}{x-1}$ trên đoạn $[2;4]$ $d)~y=f(x)=\frac{3x-1}{x+1}$ trên đoạn $[0;2]$,$e)~y=1+\frac1x$ trên đoạn $[1;2]$ $f)~y=f(x)=\frac4x+x+1$ trên đoạn $[1;3]$,$g)~y=f(x)=x+\sqrt{4-x^2}$ trên miền xác định $h)~y=f(x)=\frac{x^2+x+4}{x+1}$ trên đoạn $[0;2]$,$\underline{i)}~y=f(x)=\frac{x^2-2x+1}{x^2+1}$ trên $\mathbb{R}$ $k)~y=3x+\frac4{x^2}$ trên khoảng $(0;+\infty).$,$\checkmark_{~~D~~y=f(x)=\frac{x^2+x+1}x$ trên khoảng $(0;+\infty)$ $m)~y=x+\frac4{x-1}$ trên khoảng $(1;+\infty)$,Bài tập 2: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau trên đoạn đã chỉ ra,$a)~y=x-\ln x$ trên đoạn $[\frac12;e]$ $b)~y=x+\cos^2x$ trên đoạn $[0;\frac\pi4]$,$c)~y=f(x)=(x^2-2)e^{2x}$ trên đoạn $[-1;2]$ $d)~y=\cos2x+2\sin x$ trên đoạn $[0;\frac\pi2]$

Question

Accepted Answer

Bài tập 1:
a) Xét hàm số $ y = f(x) = x^3 - 33x $ trên đoạn $[2; 19]$.

- Điều kiện xác định: Hàm số xác định trên toàn bộ đoạn $[2; 19]$.

- Tính đạo hàm:
  $$
  f'(x) = 3x^2 - 33
  $$
  Giải phương trình $ f'(x) = 0 $:
  $$
  3x^2 - 33 = 0 \implies x^2 = 11 \implies x = \pm \sqrt{11}
  $$
  Chỉ lấy $ x = \sqrt{11} \approx 3.32 $ vì $ x = -\sqrt{11} $ không thuộc đoạn $[2; 19]$.

- Tính giá trị của hàm số tại các điểm $ x = 2 $, $ x = 19 $, và $ x = \sqrt{11} $:
  $$
  f(2) = 2^3 - 33 \cdot 2 = 8 - 66 = -58
  $$
  $$
  f(19) = 19^3 - 33 \cdot 19 = 6859 - 627 = 6232
  $$
  $$
  f(\sqrt{11}) = (\sqrt{11})^3 - 33 \cdot \sqrt{11} = 11\sqrt{11} - 33\sqrt{11} = -22\sqrt{11} \approx -72.6
  $$

- So sánh các giá trị:
  $$
  f(2) = -58, \quad f(19) = 6232, \quad f(\sqrt{11}) \approx -72.6
  $$

Do đó, giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[2; 19]$ là $ 6232 $ và giá trị nhỏ nhất là $ -72.6 $.

Đáp số: Giá trị lớn nhất là $ 6232 $, đạt được khi $ x = 19 $; Giá trị nhỏ nhất là $ -72.6 $, đạt được khi $ x = \sqrt{11} $.

b) Xét hàm số $ y = f(x) = x^3 - 3x^2 + 3 $ trên đoạn $[1; 3]$.

- Điều kiện xác định: Hàm số xác định trên toàn bộ đoạn $[1; 3]$.

- Tính đạo hàm:
  $$
  f'(x) = 3x^2 - 6x
  $$
  Giải phương trình $ f'(x) = 0 $:
  $$
  3x^2 - 6x = 0 \implies 3x(x - 2) = 0 \implies x = 0 \text{ hoặc } x = 2
  $$
  Chỉ lấy $ x = 2 $ vì $ x = 0 $ không thuộc đoạn $[1; 3]$.

- Tính giá trị của hàm số tại các điểm $ x = 1 $, $ x = 3 $, và $ x = 2 $:
  $$
  f(1) = 1^3 - 3 \cdot 1^2 + 3 = 1 - 3 + 3 = 1
  $$
  $$
  f(3) = 3^3 - 3 \cdot 3^2 + 3 = 27 - 27 + 3 = 3
  $$
  $$
  f(2) = 2^3 - 3 \cdot 2^2 + 3 = 8 - 12 + 3 = -1
  $$

- So sánh các giá trị:
  $$
  f(1) = 1, \quad f(3) = 3, \quad f(2) = -1
  $$

Do đó, giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[1; 3]$ là $ 3 $ và giá trị nhỏ nhất là $ -1 $.

Đáp số: Giá trị lớn nhất là $ 3 $, đạt được khi $ x = 3 $; Giá trị nhỏ nhất là $ -1 $, đạt được khi $ x = 2 $.

c) Xét hàm số $ f(x) = \frac{x^2 + 3}{x - 1} $ trên đoạn $[2; 4]$.

- Điều kiện xác định: Hàm số xác định trên toàn bộ đoạn $[2; 4]$.

- Tính đạo hàm:
  $$
  f'(x) = \frac{(2x)(x - 1) - (x^2 + 3)}{(x - 1)^2} = \frac{2x^2 - 2x - x^2 - 3}{(x - 1)^2} = \frac{x^2 - 2x - 3}{(x - 1)^2}
  $$
  Giải phương trình $ f'(x) = 0 $:
  $$
  x^2 - 2x - 3 = 0 \implies (x - 3)(x + 1) = 0 \implies x = 3 \text{ hoặc } x = -1
  $$
  Chỉ lấy $ x = 3 $ vì $ x = -1 $ không thuộc đoạn $[2; 4]$.

- Tính giá trị của hàm số tại các điểm $ x = 2 $, $ x = 4 $, và $ x = 3 $:
  $$
  f(2) = \frac{2^2 + 3}{2 - 1} = \frac{4 + 3}{1} = 7
  $$
  $$
  f(4) = \frac{4^2 + 3}{4 - 1} = \frac{16 + 3}{3} = \frac{19}{3} \approx 6.33
  $$
  $$
  f(3) = \frac{3^2 + 3}{3 - 1} = \frac{9 + 3}{2} = 6
  $$

- So sánh các giá trị:
  $$
  f(2) = 7, \quad f(4) \approx 6.33, \quad f(3) = 6
  $$

Do đó, giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[2; 4]$ là $ 7 $ và giá trị nhỏ nhất là $ 6 $.

Đáp số: Giá trị lớn nhất là $ 7 $, đạt được khi $ x = 2 $; Giá trị nhỏ nhất là $ 6 $, đạt được khi $ x = 3 $.

d) Xét hàm số $ y = f(x) = \frac{3x - 1}{x + 1} $ trên đoạn $[0; 2]$.

- Điều kiện xác định: Hàm số xác định trên toàn bộ đoạn $[0; 2]$.

- Tính đạo hàm:
  $$
  f'(x) = \frac{(3)(x + 1) - (3x - 1)}{(x + 1)^2} = \frac{3x + 3 - 3x + 1}{(x + 1)^2} = \frac{4}{(x + 1)^2}
  $$
  Vì $ f'(x) > 0 $ trên đoạn $[0; 2]$, hàm số đồng biến trên đoạn này.

- Tính giá trị của hàm số tại các điểm $ x = 0 $ và $ x = 2 $:
  $$
  f(0) = \frac{3 \cdot 0 - 1}{0 + 1} = -1
  $$
  $$
  f(2) = \frac{3 \cdot 2 - 1}{2 + 1} = \frac{6 - 1}{3} = \frac{5}{3} \approx 1.67
  $$

Do đó, giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[0; 2]$ là $ \frac{5}{3} $ và giá trị nhỏ nhất là $ -1 $.

Đáp số: Giá trị lớn nhất là $ \frac{5}{3} $, đạt được khi $ x = 2 $; Giá trị nhỏ nhất là $ -1 $, đạt được khi $ x = 0 $.

e) Xét hàm số $ y = 1 + \frac{1}{x} $ trên đoạn $[1; 2]$.

- Điều kiện xác định: Hàm số xác định trên toàn bộ đoạn $[1; 2]$.

- Tính đạo hàm:
  $$
  f'(x) = -\frac{1}{x^2}
  $$
  Vì $ f'(x) < 0 $ trên đoạn $[1; 2]$, hàm số nghịch biến trên đoạn này.

- Tính giá trị của hàm số tại các điểm $ x = 1 $ và $ x = 2 $:
  $$
  f(1) = 1 + \frac{1}{1} = 2
  $$
  $$
  f(2) = 1 + \frac{1}{2} = 1.5
  $$

Do đó, giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[1; 2]$ là $ 2 $ và giá trị nhỏ nhất là $ 1.5 $.

Đáp số: Giá trị lớn nhất là $ 2 $, đạt được khi $ x = 1 $; Giá trị nhỏ nhất là $ 1.5 $, đạt được khi $ x = 2 $.

f) Xét hàm số $ y = f(x) = \frac{4}{x} + x + 1 $ trên đoạn $[1; 3]$.

- Điều kiện xác định: Hàm số xác định trên toàn bộ đoạn $[1; 3]$.

- Tính đạo hàm:
  $$
  f'(x) = -\frac{4}{x^2} + 1
  $$
  Giải phương trình $ f'(x) = 0 $:
  $$
  -\frac{4}{x^2} + 1 = 0 \implies \frac{4}{x^2} = 1 \implies x^2 = 4 \implies x = 2 \text{ hoặc } x = -2
  $$
  Chỉ lấy $ x = 2 $ vì $ x = -2 $ không thuộc đoạn $[1; 3]$.

- Tính giá trị của hàm số tại các điểm $ x = 1 $, $ x = 3 $, và $ x = 2 $:
  $$
  f(1) = \frac{4}{1} + 1 + 1 = 6
  $$
  $$
  f(3) = \frac{4}{3} + 3 + 1 = \frac{4}{3} + 4 = \frac{16}{3} \approx 5.33
  $$
  $$
  f(2) = \frac{4}{2} + 2 + 1 = 2 + 2 + 1 = 5
  $$

- So sánh các giá trị:
  $$
  f(1) = 6, \quad f(3) \approx 5.33, \quad f(2) = 5
  $$

Do đó, giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[1; 3]$ là $ 6 $ và giá trị nhỏ nhất là $ 5 $.

Đáp số: Giá trị lớn nhất là $ 6 $, đạt được khi $ x = 1 $; Giá trị nhỏ nhất là $ 5 $, đạt được khi $ x = 2 $.

g) Xét hàm số $ y = f(x) = x + \sqrt{4 - x^2} $ trên miền xác định.

- Điều kiện xác định: $ 4 - x^2 \geq 0 \implies x^2 \leq 4 \implies -2 \leq x \leq 2 $.

- Tính đạo hàm:
  $$
  f'(x) = 1 - \frac{x}{\sqrt{4 - x^2}}
  $$
  Giải phương trình $ f'(x) = 0 $:
  $$
  1 - \frac{x}{\sqrt{4 - x^2}} = 0 \implies \frac{x}{\sqrt{4 - x^2}} = 1 \implies x = \sqrt{4 - x^2} \implies x^2 = 4 - x^2 \implies 2x^2 = 4 \implies x^2 = 2 \implies x = \sqrt{2} \text{ hoặc } x = -\sqrt{2}
  $$

- Tính giá trị của hàm số tại các điểm $ x = -2 $, $ x = 2 $, $ x = \sqrt{2} $, và $ x = -\sqrt{2} $:
  $$
  f(-2) = -2 + \sqrt{4 - (-2)^2} = -2 + 0 = -2
  $$
  $$
  f(2) = 2 + \sqrt{4 - 2^2} = 2 + 0 = 2
  $$
  $$
  f(\sqrt{2}) = \sqrt{2} + \sqrt{4 - (\sqrt{2})^2} = \sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2} \approx 2.83
  $$
  $$
  f(-\sqrt{2}) = -\sqrt{2} + \sqrt{4 - (-\sqrt{2})^2} = -\sqrt{2} + \sqrt{2} = 0
  $$

- So sánh các giá trị:
  $$
  f(-2) = -2, \quad f(2) = 2, \quad f(\sqrt{2}) \approx 2.83, \quad f(-\sqrt{2}) = 0
  $$

Do đó, giá trị lớn nhất của hàm số trên miền xác định là $ 2.83 $ và giá trị nhỏ nhất là $ -2 $.

Đáp số: Giá trị lớn nhất là $ 2.83 $, đạt được khi $ x = \sqrt{2} $; Giá trị nhỏ nhất là $ -2 $, đạt được khi $ x = -2 $.

h) Xét hàm số $ y = f(x) = \frac{x^2 + x + 4}{x + 1} $ trên đoạn $[0; 2]$.

- Điều kiện xác định: Hàm số xác định trên toàn bộ đoạn $[0; 2]$.

- Tính đạo hàm:
  $$
  f'(x) = \frac{(2x + 1)(x + 1) - (x^2 + x + 4)}{(x + 1)^2} = \frac{2x^2 + 2x + x + 1 - x^2 - x - 4}{(x + 1)^2} = \frac{x^2 + 2x - 3}{(x + 1)^2}
  $$
  Giải phương trình $ f'(x) = 0 $:
  $$
  x^2 + 2x - 3 = 0 \implies (x + 3)(x - 1) = 0 \implies x = -3 \text{ hoặc } x = 1
  $$
  Chỉ lấy $ x = 1 $ vì $ x = -3 $ không thuộc đoạn $[0; 2]$.

- Tính giá trị của hàm số tại các điểm $ x = 0 $, $ x = 2 $, và $ x = 1 $:
  $$
  f(0) = \frac{0^2 + 0 + 4}{0 + 1} = 4
  $$
  $$
  f(2) = \frac{2^2 + 2 + 4}{2 + 1} = \frac{4 + 2 + 4}{3} = \frac{10}{3} \approx 3.33
  $$
  $$
  f(1) = \frac{1^2 + 1 + 4}{1 + 1} = \frac{1 + 1 + 4}{2} = 3
  $$

- So sánh các giá trị:
  $$
  f(0) = 4, \quad f(2) \approx 3.33, \quad f(1) = 3
  $$

Do đó, giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[0; 2]$ là $ 4 $ và giá trị nhỏ nhất là $ 3 $.

Đáp số: Giá trị lớn nhất là $ 4 $, đạt được khi $ x = 0 $; Giá trị nhỏ nhất là $ 3 $, đạt được khi $ x = 1 $.

i) Xét hàm số $ y = f(x) = \frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 + 1} $ trên $\mathbb{R}$.

- Điều kiện xác định: Hàm số xác định trên toàn bộ $\mathbb{R}$.

- Tính đạo hàm:
  $$
  f'(x) = \frac{(2x - 2)(x^2 + 1) - (x^2 - 2x + 1)(2x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{2x^3 + 2x - 2x^2 - 2 - 2x^3 + 4x^2 - 2x}{(x^2 + 1)^2} = \frac{2x^2 - 2}{(x^2 + 1)^2}
  $$
  Giải phương trình $ f'(x) = 0 $:
  $$
  2x^2 - 2 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = 1 \text{ hoặc } x = -1
  $$

- Tính giá trị của hàm số tại các điểm $ x = 1 $ và $ x = -1 $:
  $$
  f(1) = \frac{1^2 - 2 \cdot 1 + 1}{1^2 + 1} = \frac{1 - 2 + 1}{2} = 0
  $$
  $$
  f(-1) = \frac{(-1)^2 - 2 \cdot (-1) + 1}{(-1)^2 + 1} = \frac{1 + 2 + 1}{2} = 2
  $$

- So sánh các giá trị:
  $$
  f(1) = 0, \quad f(-1) = 2
  $$

Do đó, giá trị lớn nhất của hàm số trên $\mathbb{R}$ là $ 2 $ và giá trị nhỏ nhất là $ 0 $.

Đáp số: Giá trị lớn nhất là $ 2 $, đạt được khi $ x = -1 $; Giá trị nhỏ nhất là $ 0 $, đạt được khi $ x = 1 $.

k) Xét hàm số $ y = 3x + \frac{4}{x^2} $ trên khoảng $(0; +\infty)$.

- Điều kiện xác định: Hàm số xác định trên toàn bộ khoảng $(0; +\infty)$.

- Tính đạo hàm:
  $$
  f'(x) = 3 - \frac{8}{x^3}
  $$
  Giải phương trình $ f'(x) = 0 $:
  $$
  3 - \frac{8}{x^3} = 0 \implies \frac{8}{x^3} = 3 \implies x^3 = \frac{8}{3} \implies x = \sqrt[3]{\frac{8}{3}} \approx 1.38
  $$

- Tính giá trị của hàm số tại $ x = \sqrt[3]{\frac{8}{3}} $:
  $$
  f\left(\sqrt[3]{\frac{8}{3}}\right) = 3 \cdot \sqrt[3]{\frac{8}{3}} + \frac{4}{\left(\sqrt[3]{\frac{8}{3}}\right)^2} = 3 \cdot \sqrt[3]{\frac{8}{3}} + \frac{4}{\sqrt[3]{\frac{64}{9}}} = 3 \cdot \sqrt[3]{\frac{8}{3}} + \frac{4}{\sqrt[3]{\frac{64}{9}}}
  $$

Do đó, giá trị lớn nhất của hàm số trên khoảng $(0; +\infty)$ là $ 3 \cdot \sqrt[3]{\frac{8}{3}} + \frac{4}{\sqrt[3]{\frac{64}{9}}} $ và giá trị nhỏ nhất là $ 3 \cdot \sqrt[3]{\frac{8}{3}} + \frac{4}{\sqrt[3]{\frac{64}{9}}} $.

Đáp số: Giá trị lớn nhất là $ 3 \cdot \sqrt[3]{\frac{8}{3}} + \frac{4}{\sqrt[3]{\frac{64}{9}}} $, đạt được khi $ x = \sqrt[3]{\frac{8}{3}} $; Giá trị nhỏ nhất là $ 3 \cdot \sqrt[3]{\frac{8}{3}} + \frac{4}{\sqrt[3]{\frac{64}{9}}} $, đạt được khi $ x = \sqrt[3]{\frac{8}{3}} $.

l) Xét hàm số $ y = f(x) = \frac{x^2 + x + 1}{x} $ trên khoảng $(0; +\infty)$.

- Điều kiện xác định: Hàm số xác định trên toàn bộ khoảng $(0; +\infty)$.

- Tính đạo hàm:
  $$
  f'(x) = \frac{(2x + 1)x - (x^2 + x + 1)}{x^2} = \frac{2x^2 + x - x^2 - x - 1}{x^2} = \frac{x^2 - 1}{x^2}
  $$
  Giải phương trình $ f'(x) = 0 $:
  $$
  x^2 - 1 = 0 \implies x = 1 \text{ hoặc } x = -1
  $$
  Chỉ lấy $ x = 1 $ vì $ x = -1 $ không thuộc khoảng $(0; +\infty)$.

- Tính giá trị của hàm số tại $ x = 1 $:
  $$
  f(1) = \frac{1^2 + 1 + 1}{1} = 3
  $$

Do đó, giá trị lớn nhất của hàm số trên khoảng $(0; +\infty)$ là $ 3 $ và giá trị nhỏ nhất là $ 3 $.

Đáp số: Giá trị lớn nhất là $ 3 $, đạt được khi $ x = 1 $; Giá trị nhỏ nhất là $ 3 $, đạt được khi $ x = 1 $.

m) Xét hàm số $ y = x + \frac{4}{x - 1} $ trên khoảng $(1; +\infty)$.

- Điều kiện xác định: Hàm số xác định trên toàn bộ khoảng $(1; +\infty)$.

- Tính đạo hàm:
  $$
  f'(x) = 1 - \frac{4}{(x - 1)^2}
  $$
  Giải phương trình $ f'(x) = 0 $:
  $$
  1 - \frac{4}{(x - 1)^2} = 0 \implies \frac{4}{(x - 1)^2} = 1 \implies (x - 1)^2 = 4 \implies x - 1 = 2 \text{ hoặc } x - 1 = -2 \implies x = 3 \text{ hoặc } x = -1
  $$
  Chỉ lấy $ x = 3 $ vì $ x = -1 $ không thuộc khoảng $(1; +\infty)$.

- Tính giá trị của hàm số tại $ x = 3 $:
  $$
  f(3) = 3 + \frac{4}{3 - 1} = 3 + 2 = 5
  $$

Do đó, giá trị lớn nhất của hàm số trên khoảng $(1; +\infty)$ là $ 5 $ và giá trị nhỏ nhất là $ 5 $.

Đáp số: Giá trị lớn nhất là $ 5 $, đạt được khi $ x = 3 $; Giá trị nhỏ nhất là $ 5 $, đạt được khi $ x = 3 $.

Bài tập 2:
Câu a) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số $ y = x - \ln x $ trên đoạn $\left[\frac{1}{2}; e\right]$.

1. Tìm đạo hàm của hàm số:
   $$
   y' = 1 - \frac{1}{x}
   $$

2. Giải phương trình $ y' = 0 $:
   $$
   1 - \frac{1}{x} = 0 \implies x = 1
   $$
   Ta thấy $ x = 1 $ thuộc đoạn $\left[\frac{1}{2}; e\right]$.

3. Tính giá trị của hàm số tại các điểm đầu, cuối đoạn và tại các điểm cực trị:
   $$
   y\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} - \ln \left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} + \ln 2
   $$
   $$
   y(1) = 1 - \ln 1 = 1
   $$
   $$
   y(e) = e - \ln e = e - 1
   $$

4. So sánh các giá trị để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất:
   $$
   y\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} + \ln 2 \approx 0.5 + 0.693 = 1.193
   $$
   $$
   y(1) = 1
   $$
   $$
   y(e) = e - 1 \approx 2.718 - 1 = 1.718
   $$

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $\left[\frac{1}{2}; e\right]$ là $ e - 1 $ và giá trị nhỏ nhất là $ 1 $.

Kết luận:
- Giá trị lớn nhất của hàm số là $ e - 1 $, đạt được khi $ x = e $.
- Giá trị nhỏ nhất của hàm số là $ 1 $, đạt được khi $ x = 1 $.

Câu b) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số $ y = x + \cos^2 x $ trên đoạn $[0; \frac{\pi}{4}]$.

1. Tìm đạo hàm của hàm số:
   $$
   y' = 1 - 2\cos x \sin x = 1 - \sin 2x
   $$

2. Giải phương trình $ y' = 0 $:
   $$
   1 - \sin 2x = 0 \implies \sin 2x = 1 \implies 2x = \frac{\pi}{2} \implies x = \frac{\pi}{4}
   $$
   Ta thấy $ x = \frac{\pi}{4} $ thuộc đoạn $[0; \frac{\pi}{4}]$.

3. Tính giá trị của hàm số tại các điểm đầu, cuối đoạn và tại các điểm cực trị:
   $$
   y(0) = 0 + \cos^2 0 = 1
   $$
   $$
   y\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\pi}{4} + \cos^2 \left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\pi}{4} + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2}
   $$

4. So sánh các giá trị để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất:
   $$
   y(0) = 1
   $$
   $$
   y\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} \approx 0.785 + 0.5 = 1.285
   $$

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[0; \frac{\pi}{4}]$ là $ \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} $ và giá trị nhỏ nhất là $ 1 $.

Kết luận:
- Giá trị lớn nhất của hàm số là $ \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} $, đạt được khi $ x = \frac{\pi}{4} $.
- Giá trị nhỏ nhất của hàm số là $ 1 $, đạt được khi $ x = 0 $.

Câu c) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số $ y = f(x) = (x^2 - 2)e^{2x} $ trên đoạn $[-1; 2]$.

1. Tìm đạo hàm của hàm số:
   $$
   y' = (2x)e^{2x} + (x^2 - 2)(2e^{2x}) = e^{2x}(2x + 2x^2 - 4)
   $$
   $$
   y' = e^{2x}(2x^2 + 2x - 4)
   $$

2. Giải phương trình $ y' = 0 $:
   $$
   e^{2x}(2x^2 + 2x - 4) = 0 \implies 2x^2 + 2x - 4 = 0 \implies x^2 + x - 2 = 0
   $$
   $$
   x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2} \implies x = 1 \text{ hoặc } x = -2
   $$
   Ta thấy $ x = 1 $ thuộc đoạn $[-1; 2]$.

3. Tính giá trị của hàm số tại các điểm đầu, cuối đoạn và tại các điểm cực trị:
   $$
   y(-1) = ((-1)^2 - 2)e^{-2} = (-1)e^{-2} = -\frac{1}{e^2}
   $$
   $$
   y(1) = (1^2 - 2)e^{2} = (-1)e^{2} = -e^2
   $$
   $$
   y(2) = (2^2 - 2)e^{4} = (4 - 2)e^{4} = 2e^4
   $$

4. So sánh các giá trị để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất:
   $$
   y(-1) = -\frac{1}{e^2} \approx -0.135
   $$
   $$
   y(1) = -e^2 \approx -7.389
   $$
   $$
   y(2) = 2e^4 \approx 2 \times 54.598 = 109.196
   $$

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[-1; 2]$ là $ 2e^4 $ và giá trị nhỏ nhất là $ -e^2 $.

Kết luận:
- Giá trị lớn nhất của hàm số là $ 2e^4 $, đạt được khi $ x = 2 $.
- Giá trị nhỏ nhất của hàm số là $ -e^2 $, đạt được khi $ x = 1 $.

Câu d) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số $ y = \cos 2x + 2\sin x $ trên đoạn $[0; \frac{\pi}{2}]$.

1. Tìm đạo hàm của hàm số:
   $$
   y' = -2\sin 2x + 2\cos x = -4\sin x \cos x + 2\cos x
   $$
   $$
   y' = 2\cos x (1 - 2\sin x)
   $$

2. Giải phương trình $ y' = 0 $:
   $$
   2\cos x (1 - 2\sin x) = 0 \implies \cos x = 0 \text{ hoặc } 1 - 2\sin x = 0
   $$
   $$
   \cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2}
   $$
   $$
   1 - 2\sin x = 0 \implies \sin x = \frac{1}{2} \implies x = \frac{\pi}{6}
   $$
   Ta thấy $ x = \frac{\pi}{6} $ thuộc đoạn $[0; \frac{\pi}{2}]$.

3. Tính giá trị của hàm số tại các điểm đầu, cuối đoạn và tại các điểm cực trị:
   $$
   y(0) = \cos 0 + 2\sin 0 = 1
   $$
   $$
   y\left(\frac{\pi}{6}\right) = \cos \left(\frac{\pi}{3}\right) + 2\sin \left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}
   $$
   $$
   y\left(\frac{\pi}{2}\right) = \cos \pi + 2\sin \left(\frac{\pi}{2}\right) = -1 + 2 \cdot 1 = 1
   $$

4. So sánh các giá trị để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất:
   $$
   y(0) = 1
   $$
   $$
   y\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{3}{2} = 1.5
   $$
   $$
   y\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1
   $$

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[0; \frac{\pi}{2}]$ là $ \frac{3}{2} $ và giá trị nhỏ nhất là $ 1 $.

Kết luận:
- Giá trị lớn nhất của hàm số là $ \frac{3}{2} $, đạt được khi $ x = \frac{\pi}{6} $.
- Giá trị nhỏ nhất của hàm số là $ 1 $, đạt được khi $ x = 0 $ hoặc $ x = \frac{\pi}{2} $.