điền đúng sai 5 câu đầu

Câu 1: Để giải quyết bài toán này, ta cần phân tích từng đáp án dựa trên đồ thị của hàm số \( y = f(x) \). A. Hàm số \( f(x) \) nghịch biến trên khoảng \( (0;1) \). Quan sát đồ thị, trên khoảng \( (0;1) \), hàm số đi xuống từ trái sang phải. Điều này cho thấy hàm số nghịch biến trên khoảng này. Vậy đáp án A là đúng. B. Hàm số \( f(x) \) đạt cực tiểu tại \( x=0 \). Tại \( x=0 \), đồ thị có điểm cực đại, không phải cực tiểu. Vậy đáp án B là sai. C. Hàm số \( f(x) \) đồng biến trên khoảng \( (-\infty;0) \). Quan sát đồ thị, trên khoảng \( (-\infty;0) \), hàm số đi lên từ trái sang phải. Điều này cho thấy hàm số đồng biến trên khoảng này. Vậy đáp án C là đúng. D. Hàm số \( f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 3 \). Để kiểm tra điều này, ta cần xét đạo hàm của hàm số \( g(x) = 2x^3 - 3x^2 + 3 \): \[ g'(x) = 6x^2 - 6x = 6x(x-1). \] - \( g'(x) = 0 \) khi \( x = 0 \) hoặc \( x = 1 \). - Xét dấu của \( g'(x) \): - Trên khoảng \( (-\infty, 0) \), \( g'(x) > 0 \) (đồng biến). - Trên khoảng \( (0, 1) \), \( g'(x) < 0 \) (nghịch biến). - Trên khoảng \( (1, \infty) \), \( g'(x) > 0 \) (đồng biến). Điều này phù hợp với đồ thị đã cho. Vậy đáp án D là đúng. Kết luận: Đáp án đúng là A, C và D. Câu 2: Để giải quyết các lựa chọn, ta cần phân tích từng câu một cách chi tiết: A. Hàm số \( f(x) = x^3 + x^2 \). - Đạo hàm của hàm số là \( f'(x) = 3x^2 + 2x \). - Giải phương trình \( f'(x) = 0 \) ta có: \[ 3x^2 + 2x = 0 \Rightarrow x(3x + 2) = 0 \Rightarrow x = 0 \text{ hoặc } x = -\frac{2}{3}. \] - Xét dấu đạo hàm để tìm cực trị: - Với \( x < -\frac{2}{3} \), \( f'(x) > 0 \). - Với \( -\frac{2}{3} < x < 0 \), \( f'(x) < 0 \). - Với \( x > 0 \), \( f'(x) > 0 \). - Hàm số có cực đại tại \( x = -\frac{2}{3} \) và cực tiểu tại \( x = 0 \). - Đồ thị không giống với đồ thị đã cho, vì đồ thị đã cho có cực tiểu tại \( x = -1 \) và cực đại tại \( x = 1 \). Vậy A là sai. B. Hàm số \( f(x) \) đạt cực tiểu tại \( x = -1 \). - Quan sát đồ thị, ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại \( x = -1 \). Vậy B là đúng. C. Số nghiệm thực của phương trình \( f(x) = \frac{1}{2024} \) là 3. - Đường thẳng \( y = \frac{1}{2024} \) là một đường nằm ngang rất gần trục hoành. - Quan sát đồ thị, đường thẳng này cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt. Vậy C là đúng. D. Đồ thị hàm số cắt đường thẳng \( y = 2024 \) tại 3 điểm phân biệt. - Đường thẳng \( y = 2024 \) nằm rất cao so với đồ thị. - Đồ thị không thể cắt đường thẳng này tại 3 điểm phân biệt. Vậy D là sai. Tóm lại, các lựa chọn đúng là B và C. Câu 3: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần phân tích từng phần của hàm số và các đặc điểm của đồ thị (C). A. Đường tiệm cận đứng: Hàm số đã cho là \( y = \frac{x^2 - 2x + 2024}{x - 1} \). 1. Điều kiện xác định (ĐKXĐ): Hàm số xác định khi mẫu số khác 0, tức là \( x - 1 \neq 0 \). Do đó, \( x \neq 1 \). 2. Đường tiệm cận đứng: Đường tiệm cận đứng xuất hiện khi mẫu số bằng 0 và tử số khác 0. Tại \( x = 1 \), mẫu số bằng 0 và tử số là \( 1^2 - 2 \times 1 + 2024 = 2023 \neq 0 \). Do đó, \( x = 1 \) là đường tiệm cận đứng. Kết luận A: Đúng. (C) có đường tiệm cận đứng là \( x = 1 \). B. Đường tiệm cận xiên: Để tìm đường tiệm cận xiên, ta thực hiện phép chia đa thức: \[ \frac{x^2 - 2x + 2024}{x - 1} = x + 1 + \frac{2023}{x - 1} \] Khi \( x \to \infty \) hoặc \( x \to -\infty \), \(\frac{2023}{x - 1} \to 0\). Do đó, đường tiệm cận xiên là \( y = x + 1 \). Kết luận B: Đúng. (C) có đường tiệm cận xiên là \( y = x + 1 \). C. Trục đối xứng: Để xác định trục đối xứng, ta cần xem xét tính chất của hàm số. Hàm số có dạng phân thức bậc nhất trên bậc nhất sau khi chia, nên không có trục đối xứng dạng \( x = a \) hay \( y = b \). Kết luận C: Sai. (C) không có trục đối xứng. D. Điểm có tọa độ nguyên: Để tìm các điểm có tọa độ nguyên, ta cần giải phương trình: \[ y = \frac{x^2 - 2x + 2024}{x - 1} \] với \( y \) và \( x \) là số nguyên. Ta thử một số giá trị nguyên của \( x \) và kiểm tra xem \( y \) có nguyên không. - Với \( x = 0 \), \( y = \frac{0^2 - 2 \times 0 + 2024}{0 - 1} = -2024 \) (nguyên). - Với \( x = 2 \), \( y = \frac{2^2 - 2 \times 2 + 2024}{2 - 1} = 2024 \) (nguyên). - Với \( x = 3 \), \( y = \frac{3^2 - 2 \times 3 + 2024}{3 - 1} = 1012 \) (nguyên). - Với \( x = 4 \), \( y = \frac{4^2 - 2 \times 4 + 2024}{4 - 1} = 676 \) (nguyên). Các giá trị khác của \( x \) không cho \( y \) nguyên. Do đó, có đúng 4 điểm có tọa độ nguyên. Kết luận D: Đúng. Trên (C) có đúng 4 điểm có tọa độ nguyên. Tóm lại, các kết luận đúng là A, B và D. Câu 4: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần phân tích từng mệnh đề một cách chi tiết. A. (C) luôn có hai điểm cực trị. Để hàm số $y = f(x) = x^3 - 3m^2x + 2024$ có hai điểm cực trị, ta cần xét đạo hàm của hàm số: \[ f'(x) = 3x^2 - 3m^2. \] Để hàm số có hai điểm cực trị, phương trình $f'(x) = 0$ phải có hai nghiệm phân biệt. Phương trình này là: \[ 3x^2 - 3m^2 = 0 \] \[ x^2 = m^2. \] Phương trình này có hai nghiệm phân biệt khi $m \neq 0$. Do đó, mệnh đề A đúng khi $m \neq 0$. Tuy nhiên, mệnh đề yêu cầu "luôn có", nên mệnh đề A là sai. B. Khi m thay đổi, (C) luôn có tâm đối xứng cố định. Hàm bậc ba có dạng $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ có tâm đối xứng khi $b = 0$. Trong hàm số $f(x) = x^3 - 3m^2x + 2024$, hệ số của $x^2$ là $0$. Do đó, đồ thị của hàm số luôn có tâm đối xứng tại gốc tọa độ $(0, 2024)$. Mệnh đề B là đúng. C. Khi m thay đổi, (C) luôn cắt trục hoành tại ít nhất 1 điểm. Để đồ thị cắt trục hoành, phương trình $f(x) = 0$ phải có nghiệm thực. Phương trình này là: \[ x^3 - 3m^2x + 2024 = 0. \] Theo định lý Viète, tổng các nghiệm của phương trình bậc ba là $0$. Do đó, phương trình luôn có ít nhất một nghiệm thực. Mệnh đề C là đúng. D. Khi (C) có 2 cực trị, đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của (C) có dạng $y=ax+b.$ Đặt $S=a+b$ thì $S\leq2024.$ Khi $m \neq 0$, hàm số có hai điểm cực trị tại $x = m$ và $x = -m$. Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị: - $f(m) = m^3 - 3m^3 + 2024 = -2m^3 + 2024$. - $f(-m) = -m^3 + 3m^3 + 2024 = 2m^3 + 2024$. Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị $(m, -2m^3 + 2024)$ và $(-m, 2m^3 + 2024)$ có hệ số góc: \[ a = \frac{(2m^3 + 2024) - (-2m^3 + 2024)}{-m - m} = \frac{4m^3}{-2m} = -2m^2. \] Đường thẳng có dạng $y = -2m^2x + b$. Để tìm $b$, ta thay một trong hai điểm cực trị vào phương trình đường thẳng: \[ -2m^3 + 2024 = -2m^2 \cdot m + b \] \[ b = 2024. \] Vậy $S = a + b = -2m^2 + 2024$. Để $S \leq 2024$, ta có: \[ -2m^2 + 2024 \leq 2024 \] \[ -2m^2 \leq 0 \] \[ m^2 \geq 0. \] Điều này luôn đúng với mọi $m$. Do đó, mệnh đề D là đúng. Kết luận: Các mệnh đề đúng là B, C, và D. Câu 5: Để giải quyết bài toán này, ta cần phân tích đồ thị của hàm số bậc ba \(y = ax^3 + bx^2 + cx + d\). 1. Điểm cực trị trái dấu: - Đồ thị có hai điểm cực trị: một điểm cực đại và một điểm cực tiểu. - Quan sát đồ thị, ta thấy điểm cực đại nằm trên trục hoành (giá trị dương) và điểm cực tiểu nằm dưới trục hoành (giá trị âm). - Do đó, hai điểm cực trị có giá trị trái dấu. Kết luận: A đúng. 2. Tổng giá trị cực đại và cực tiểu: - Tổng giá trị cực đại và cực tiểu là số âm nếu giá trị cực tiểu có độ lớn lớn hơn giá trị cực đại. - Quan sát đồ thị, điểm cực tiểu nằm sâu hơn dưới trục hoành so với điểm cực đại nằm trên trục hoành. Kết luận: B đúng. 3. Phương trình \(y' = 0\) có ba nghiệm phân biệt: - Đạo hàm của hàm số là \(y' = 3ax^2 + 2bx + c\). - Phương trình \(y' = 0\) là phương trình bậc hai, chỉ có thể có tối đa hai nghiệm phân biệt. Kết luận: C sai. 4. Hệ số dương: - Đồ thị có dạng đi lên từ trái qua phải, cho thấy hệ số \(a > 0\). - Không thể kết luận chắc chắn về các hệ số \(b, c, d\) chỉ dựa vào đồ thị mà không có thêm thông tin. Kết luận: D không thể xác định chỉ từ đồ thị. Tóm lại, các đáp án đúng là A và B.