giúp mình vs. Gọi M,m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\frac13x^2-2x^2+3x+1~uề$,âu 9:,đoạn $[0;4]$ Tính tổng $S=M+m.$,$A.~\frac73.$ B. 1 $c.~\frac{10}3$ D. 4.,Câu 10: Giá trị lớn nhất của hàm số $y=x^3+3x^2+10$ trên đoạn $[-5;-1]$ bằng,A. 12. B. 18. C. 40. D. 14.,Câu 11: Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=x^3-3x+5$ trên đoạn $[2;4]$ là:,$A.~\min_{n\rightarrow9}y=5.$ $B.~\min y=0.$ $C.~\min y=3.$ $D.~\min y=7.$,Câu 12: Giá trị lớn nhất của hàm số $f(x)=\frac{x^2+3}{x-1}$ trên đoạn $[2;4]$ là,A. 7. B. 8. $C.~\frac{19}3$ $D.~\frac{23}3.$,Câu 13: Gọi m,M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số $f(x)=\frac12x-\sqrt{x+1}$ trên,đoạn $[0;3].$ Tổng $S=2M-m$ bằng,$A.~S=0.$ $B.~S=-\frac32.$ $C.~S=-2.$ $D.~S=4.$,Câu 14: Giá trị lớn nhất của hàm số $y=\sqrt{16-x^2}$ là,A. 16. B. 4. C. 0. D. L,Câu 15: Gọi $M,m$ lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=x\sqrt{16-x^2}.$ Tính $M+m$,$A.~8-\sqrt8.$ $B.~\sqrt8.$ C. 0. D. 8.,Câu 16: Trên đoạn $[-4;-1].$ hàm số $y=x+\frac9{x-1}$ đạt giá trị lớn nhất bằng,A. -5. $B.~\frac{29}5.$ $C.~\frac{11}2.$ D. 4.,Câu 17: Gọi M,m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\frac4x+x+1$ trên đoạn,$[1;3].$ Tính $M-m.$,A. 9. B. 5. C. 1. D. 4,Câu 18: Trên đoạn $[\frac13;\frac32].$ hàm số $y=2x^3+\frac1{2x}$ đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm,$A.~x=\frac12.$ $B.~x=\frac32.$ $C.~x=\frac13.$ $D.~x=1.$,Câu 19: Cho hàm số $f(x)=\sqrt{2x+14}+\sqrt{5-x}$ Mệnh đề nào sau đây đúng?,A. Hàm số đạt giá trị lớn nhất tại $x=-7.$ B. Hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng $2\sqrt6.$,C. Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại $x=1.$ D. Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng $2\sqrt3.$,Câu 20: Giá trị lớn nhất của hàm số $y=\sqrt{x-3}+\sqrt{5-x}$ là,$A.~\sqrt3.$ $B.~\sqrt2.$ C. 1 D. 2.

Question

Accepted Answer

Trước tiên, ta cần kiểm tra lại đề bài vì có vẻ như có lỗi trong biểu thức hàm số. Biểu thức $ y = \frac{1}{3}x^2 - 2x^2 + 3x + 1 $ có thể bị viết sai. Giả sử biểu thức đúng là $ y = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 3x + 1 $.

Bây giờ, ta sẽ tìm giá trị lớn nhất (M) và giá trị nhỏ nhất (m) của hàm số $ y = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 3x + 1 $ trên đoạn $[0; 4]$.

1. Tìm đạo hàm của hàm số:
   $$
   y' = x^2 - 4x + 3
   $$

2. Giải phương trình $ y' = 0 $:
   $$
   x^2 - 4x + 3 = 0
   $$
   $$
   (x - 1)(x - 3) = 0
   $$
   $$
   x = 1 \quad \text{hoặc} \quad x = 3
   $$

3. Kiểm tra giá trị của hàm số tại các điểm $ x = 0 $, $ x = 1 $, $ x = 3 $, và $ x = 4 $:
   $$
   y(0) = \frac{1}{3}(0)^3 - 2(0)^2 + 3(0) + 1 = 1
   $$
   $$
   y(1) = \frac{1}{3}(1)^3 - 2(1)^2 + 3(1) + 1 = \frac{1}{3} - 2 + 3 + 1 = \frac{1}{3} + 2 = \frac{7}{3}
   $$
   $$
   y(3) = \frac{1}{3}(3)^3 - 2(3)^2 + 3(3) + 1 = \frac{1}{3}(27) - 2(9) + 9 + 1 = 9 - 18 + 9 + 1 = 1
   $$
   $$
   y(4) = \frac{1}{3}(4)^3 - 2(4)^2 + 3(4) + 1 = \frac{1}{3}(64) - 2(16) + 12 + 1 = \frac{64}{3} - 32 + 13 = \frac{64}{3} - \frac{96}{3} + \frac{39}{3} = \frac{7}{3}
   $$

4. So sánh các giá trị để tìm giá trị lớn nhất (M) và giá trị nhỏ nhất (m):
   $$
   y(0) = 1, \quad y(1) = \frac{7}{3}, \quad y(3) = 1, \quad y(4) = \frac{7}{3}
   $$
   $$
   M = \frac{7}{3}, \quad m = 1
   $$

5. Tính tổng $ S = M + m $:
   $$
   S = \frac{7}{3} + 1 = \frac{7}{3} + \frac{3}{3} = \frac{10}{3}
   $$

Đáp án: $ C. \frac{10}{3} $

Câu 10:
Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số $ y = x^3 + 3x^2 + 10 $ trên đoạn $[-5, -1]$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tìm đạo hàm của hàm số:
   $$
   y' = \frac{d}{dx}(x^3 + 3x^2 + 10) = 3x^2 + 6x
   $$

2. Giải phương trình $ y' = 0 $ để tìm các điểm tới hạn:
   $$
   3x^2 + 6x = 0
   $$
   $$
   3x(x + 2) = 0
   $$
   $$
   x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = -2
   $$

3. Kiểm tra các điểm tới hạn trong khoảng $[-5, -1]$:
   - Điểm $ x = 0 $ không nằm trong khoảng $[-5, -1]$.
   - Điểm $ x = -2 $ nằm trong khoảng $[-5, -1]$.

4. Tính giá trị của hàm số tại các điểm tới hạn và tại các đầu mút của đoạn:
   - Tại $ x = -5 $:
     $$
     y(-5) = (-5)^3 + 3(-5)^2 + 10 = -125 + 75 + 10 = -40
     $$
   - Tại $ x = -2 $:
     $$
     y(-2) = (-2)^3 + 3(-2)^2 + 10 = -8 + 12 + 10 = 14
     $$
   - Tại $ x = -1 $:
     $$
     y(-1) = (-1)^3 + 3(-1)^2 + 10 = -1 + 3 + 10 = 12
     $$

5. So sánh các giá trị đã tính để tìm giá trị lớn nhất:
   - $ y(-5) = -40 $
   - $ y(-2) = 14 $
   - $ y(-1) = 12 $

Giá trị lớn nhất trong các giá trị này là 14.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số $ y = x^3 + 3x^2 + 10 $ trên đoạn $[-5, -1]$ là 14.

Đáp án đúng là: D. 14.

Câu 11:
Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $ y = x^3 - 3x + 5 $ trên đoạn $[2; 4]$, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm đạo hàm của hàm số:
   $$
   y' = 3x^2 - 3
   $$

2. Giải phương trình $ y' = 0 $ để tìm các điểm tới hạn:
   $$
   3x^2 - 3 = 0 \implies x^2 - 1 = 0 \implies x = \pm 1
   $$
   Tuy nhiên, các điểm tới hạn này không nằm trong đoạn $[2; 4]$.

3. So sánh giá trị của hàm số tại các đầu mút của đoạn:
   - Tại $ x = 2 $:
     $$
     y(2) = 2^3 - 3 \cdot 2 + 5 = 8 - 6 + 5 = 7
     $$
   - Tại $ x = 4 $:
     $$
     y(4) = 4^3 - 3 \cdot 4 + 5 = 64 - 12 + 5 = 57
     $$

4. Kết luận:
   Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[2; 4]$ là:
   $$
   \min y = 7
   $$

Do đó, đáp án đúng là:
$$
\boxed{D.~\min y=7}
$$

Câu 12:
Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số $ f(x) = \frac{x^2 + 3}{x - 1} $ trên đoạn $[2, 4]$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tìm đạo hàm của hàm số $ f(x) $:

Hàm số $ f(x) = \frac{x^2 + 3}{x - 1} $.

Áp dụng công thức đạo hàm của phân thức:
   $$
   f'(x) = \frac{(x^2 + 3)'(x - 1) - (x^2 + 3)(x - 1)'}{(x - 1)^2}
   $$

Tính đạo hàm của tử số và mẫu số:
   $$
   (x^2 + 3)' = 2x
   $$
   $$
   (x - 1)' = 1
   $$

Thay vào công thức đạo hàm:
   $$
   f'(x) = \frac{2x(x - 1) - (x^2 + 3)}{(x - 1)^2}
   $$

Rút gọn tử số:
   $$
   2x(x - 1) - (x^2 + 3) = 2x^2 - 2x - x^2 - 3 = x^2 - 2x - 3
   $$

Vậy:
   $$
   f'(x) = \frac{x^2 - 2x - 3}{(x - 1)^2}
   $$

2. Tìm các điểm tới hạn trong khoảng $(2, 4)$:

Đặt $ f'(x) = 0 $:
   $$
   \frac{x^2 - 2x - 3}{(x - 1)^2} = 0
   $$

Giải phương trình tử số bằng 0:
   $$
   x^2 - 2x - 3 = 0
   $$

Giải phương trình bậc hai:
   $$
   x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2}
   $$

Ta có:
   $$
   x = 3 \quad \text{hoặc} \quad x = -1
   $$

Vì $ x = -1 $ không nằm trong khoảng $[2, 4]$, nên chỉ xét $ x = 3 $.

3. Tính giá trị của hàm số tại các điểm $ x = 2 $, $ x = 3 $, và $ x = 4 $:

- Tại $ x = 2 $:
     $$
     f(2) = \frac{2^2 + 3}{2 - 1} = \frac{4 + 3}{1} = 7
     $$

- Tại $ x = 3 $:
     $$
     f(3) = \frac{3^2 + 3}{3 - 1} = \frac{9 + 3}{2} = \frac{12}{2} = 6
     $$

- Tại $ x = 4 $:
     $$
     f(4) = \frac{4^2 + 3}{4 - 1} = \frac{16 + 3}{3} = \frac{19}{3} \approx 6.33
     $$

4. So sánh các giá trị để tìm giá trị lớn nhất:

Các giá trị của hàm số tại các điểm đã tính:
   $$
   f(2) = 7, \quad f(3) = 6, \quad f(4) = \frac{19}{3} \approx 6.33
   $$

Giá trị lớn nhất là $ 7 $.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số $ f(x) = \frac{x^2 + 3}{x - 1} $ trên đoạn $[2, 4]$ là $ 7 $.

Đáp án: A. 7.

Câu 13:
Để tìm giá trị nhỏ nhất (m) và giá trị lớn nhất (M) của hàm số $ f(x) = \frac{1}{2}x - \sqrt{x + 1} $ trên đoạn $[0; 3]$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tìm đạo hàm của hàm số $ f(x) $:
   $$
   f'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}x - \sqrt{x + 1}\right)
   $$
   $$
   f'(x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2\sqrt{x + 1}}
   $$

2. Giải phương trình $ f'(x) = 0 $ để tìm các điểm cực trị:
   $$
   \frac{1}{2} - \frac{1}{2\sqrt{x + 1}} = 0
   $$
   $$
   \frac{1}{2} = \frac{1}{2\sqrt{x + 1}}
   $$
   $$
   1 = \frac{1}{\sqrt{x + 1}}
   $$
   $$
   \sqrt{x + 1} = 1
   $$
   $$
   x + 1 = 1
   $$
   $$
   x = 0
   $$

3. Kiểm tra giá trị của hàm số tại các điểm đầu mút và điểm cực trị:
   - Tại $ x = 0 $:
     $$
     f(0) = \frac{1}{2}(0) - \sqrt{0 + 1} = -1
     $$
   - Tại $ x = 3 $:
     $$
     f(3) = \frac{1}{2}(3) - \sqrt{3 + 1} = \frac{3}{2} - 2 = -\frac{1}{2}
     $$

4. So sánh các giá trị để tìm giá trị nhỏ nhất (m) và giá trị lớn nhất (M):
   - Giá trị nhỏ nhất $ m = -1 $ (đạt được tại $ x = 0 $)
   - Giá trị lớn nhất $ M = -\frac{1}{2} $ (đạt được tại $ x = 3 $)

5. Tính tổng $ S = 2M - m $:
   $$
   S = 2\left(-\frac{1}{2}\right) - (-1) = -1 + 1 = 0
   $$

Vậy đáp án đúng là:
$$
\boxed{A.~S=0}
$$

Câu 14:
Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số $ y = \sqrt{16 - x^2} $, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Xác định miền xác định của hàm số:
   Hàm số $ y = \sqrt{16 - x^2} $ có nghĩa khi biểu thức dưới dấu căn không âm:
   $$
   16 - x^2 \geq 0
   $$
   Giải bất phương trình này:
   $$
   x^2 \leq 16
   $$
   $$
   -4 \leq x \leq 4
   $$
   Vậy miền xác định của hàm số là $ [-4, 4] $.

2. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số trong miền xác định:
   Ta xét hàm số $ y = \sqrt{16 - x^2} $. Để tìm giá trị lớn nhất, ta cần tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $ 16 - x^2 $ trong khoảng $ [-4, 4] $.

Biểu thức $ 16 - x^2 $ đạt giá trị lớn nhất khi $ x^2 $ nhỏ nhất, tức là khi $ x = 0 $:
   $$
   16 - 0^2 = 16
   $$
   Do đó:
   $$
   y = \sqrt{16} = 4
   $$

3. Kết luận:
   Giá trị lớn nhất của hàm số $ y = \sqrt{16 - x^2} $ là 4, đạt được khi $ x = 0 $.

Vậy đáp án đúng là:
B. 4.

Câu 15:
Để tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số $ y = x \sqrt{16 - x^2} $, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Xác định miền xác định của hàm số:
   Hàm số $ y = x \sqrt{16 - x^2} $ có nghĩa khi $ 16 - x^2 \geq 0 $. Do đó:
   $$
   16 - x^2 \geq 0 \implies x^2 \leq 16 \implies -4 \leq x \leq 4
   $$
   Vậy miền xác định của hàm số là $ [-4, 4] $.

2. Tìm đạo hàm của hàm số:
   Ta có:
   $$
   y = x \sqrt{16 - x^2}
   $$
   Áp dụng quy tắc nhân để tìm đạo hàm:
   $$
   y' = \sqrt{16 - x^2} + x \cdot \frac{-2x}{2\sqrt{16 - x^2}} = \sqrt{16 - x^2} - \frac{x^2}{\sqrt{16 - x^2}}
   $$
   Gộp lại:
   $$
   y' = \frac{(16 - x^2) - x^2}{\sqrt{16 - x^2}} = \frac{16 - 2x^2}{\sqrt{16 - x^2}}
   $$

3. Giải phương trình $ y' = 0 $ để tìm các điểm cực trị:
   $$
   \frac{16 - 2x^2}{\sqrt{16 - x^2}} = 0 \implies 16 - 2x^2 = 0 \implies 2x^2 = 16 \implies x^2 = 8 \implies x = \pm \sqrt{8}
   $$
   Các điểm cực trị là $ x = \sqrt{8} $ và $ x = -\sqrt{8} $.

4. Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị và tại biên của miền xác định:
   - Tại $ x = \sqrt{8} $:
     $$
     y(\sqrt{8}) = \sqrt{8} \sqrt{16 - (\sqrt{8})^2} = \sqrt{8} \sqrt{16 - 8} = \sqrt{8} \sqrt{8} = 8
     $$
   - Tại $ x = -\sqrt{8} $:
     $$
     y(-\sqrt{8}) = -\sqrt{8} \sqrt{16 - (-\sqrt{8})^2} = -\sqrt{8} \sqrt{16 - 8} = -\sqrt{8} \sqrt{8} = -8
     $$
   - Tại $ x = 4 $:
     $$
     y(4) = 4 \sqrt{16 - 4^2} = 4 \sqrt{16 - 16} = 4 \sqrt{0} = 0
     $$
   - Tại $ x = -4 $:
     $$
     y(-4) = -4 \sqrt{16 - (-4)^2} = -4 \sqrt{16 - 16} = -4 \sqrt{0} = 0
     $$

5. Xác định giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất:
   - Giá trị lớn nhất $ M $ là 8 (đạt được khi $ x = \sqrt{8} $).
   - Giá trị nhỏ nhất $ m $ là -8 (đạt được khi $ x = -\sqrt{8} $).

6. Tính tổng $ M + m $:
   $$
   M + m = 8 + (-8) = 0
   $$

Vậy đáp án đúng là:
C. 0.

Câu 16:
Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số $ y = x + \frac{9}{x-1} $ trên đoạn $[-4, -1]$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tìm đạo hàm của hàm số:
   $$
   y = x + \frac{9}{x-1}
   $$
   Đạo hàm $ y' $:
   $$
   y' = 1 - \frac{9}{(x-1)^2}
   $$

2. Giải phương trình $ y' = 0 $ để tìm các điểm tới hạn:
   $$
   1 - \frac{9}{(x-1)^2} = 0
   $$
   $$
   \frac{9}{(x-1)^2} = 1
   $$
   $$
   (x-1)^2 = 9
   $$
   $$
   x - 1 = \pm 3
   $$
   $$
   x = 4 \quad \text{hoặc} \quad x = -2
   $$

3. Kiểm tra các điểm tới hạn trong khoảng $[-4, -1]$:
   - $ x = 4 $ không nằm trong khoảng $[-4, -1]$.
   - $ x = -2 $ nằm trong khoảng $[-4, -1]$.

4. Tính giá trị của hàm số tại các điểm tới hạn và tại các đầu mút của đoạn:
   - Tại $ x = -2 $:
     $$
     y(-2) = -2 + \frac{9}{-2-1} = -2 + \frac{9}{-3} = -2 - 3 = -5
     $$
   - Tại $ x = -4 $:
     $$
     y(-4) = -4 + \frac{9}{-4-1} = -4 + \frac{9}{-5} = -4 - \frac{9}{5} = -4 - 1.8 = -5.8
     $$
   - Tại $ x = -1 $:
     $$
     y(-1) = -1 + \frac{9}{-1-1} = -1 + \frac{9}{-2} = -1 - 4.5 = -5.5
     $$

5. So sánh các giá trị đã tính để tìm giá trị lớn nhất:
   - $ y(-2) = -5 $
   - $ y(-4) = -5.8 $
   - $ y(-1) = -5.5 $

Trong các giá trị này, giá trị lớn nhất là $ -5 $.

Vậy, giá trị lớn nhất của hàm số $ y = x + \frac{9}{x-1} $ trên đoạn $[-4, -1]$ là $\boxed{-5}$.

Câu 17:
Để tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số $ y = \frac{4}{x} + x + 1 $ trên đoạn $[1; 3]$, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm đạo hàm của hàm số:
   $$
   y' = -\frac{4}{x^2} + 1
   $$

2. Giải phương trình $ y' = 0 $ để tìm các điểm tới hạn:
   $$
   -\frac{4}{x^2} + 1 = 0 \implies \frac{4}{x^2} = 1 \implies x^2 = 4 \implies x = 2 \quad (\text{vì } x > 0)
   $$
   Vậy, điểm tới hạn trong khoảng $(1; 3)$ là $ x = 2 $.

3. Tính giá trị của hàm số tại các điểm đầu mút và điểm tới hạn:
   - Tại $ x = 1 $:
     $$
     y(1) = \frac{4}{1} + 1 + 1 = 6
     $$
   - Tại $ x = 2 $:
     $$
     y(2) = \frac{4}{2} + 2 + 1 = 2 + 2 + 1 = 5
     $$
   - Tại $ x = 3 $:
     $$
     y(3) = \frac{4}{3} + 3 + 1 = \frac{4}{3} + 4 = \frac{4}{3} + \frac{12}{3} = \frac{16}{3}
     $$

4. So sánh các giá trị để tìm GTLN và GTNN:
   - $ y(1) = 6 $
   - $ y(2) = 5 $
   - $ y(3) = \frac{16}{3} \approx 5.33 $

Từ đó, ta thấy:
   - Giá trị lớn nhất $ M = 6 $ (đạt được khi $ x = 1 $)
   - Giá trị nhỏ nhất $ m = 5 $ (đạt được khi $ x = 2 $)

5. Tính $ M - m $:
   $$
   M - m = 6 - 5 = 1
   $$

Vậy đáp án là:
$$
\boxed{1}
$$

Câu 18:
Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $ y = 2x^3 + \frac{1}{2x} $ trên đoạn $\left[\frac{1}{3}, \frac{3}{2}\right]$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tìm đạo hàm của hàm số:
   $$
   y' = \frac{d}{dx}\left(2x^3 + \frac{1}{2x}\right)
   $$
   $$
   y' = 6x^2 - \frac{1}{2x^2}
   $$

2. Giải phương trình $ y' = 0 $ để tìm các điểm tới hạn:
   $$
   6x^2 - \frac{1}{2x^2} = 0
   $$
   $$
   6x^2 = \frac{1}{2x^2}
   $$
   $$
   12x^4 = 1
   $$
   $$
   x^4 = \frac{1}{12}
   $$
   $$
   x = \sqrt[4]{\frac{1}{12}}
   $$
   $$
   x = \frac{1}{\sqrt[4]{12}}
   $$

3. Kiểm tra xem các điểm tới hạn này có nằm trong đoạn $\left[\frac{1}{3}, \frac{3}{2}\right]$ hay không:
   $$
   \frac{1}{\sqrt[4]{12}} \approx 0.535
   $$
   Vì $0.535$ nằm trong đoạn $\left[\frac{1}{3}, \frac{3}{2}\right]$, nên đây là một điểm tới hạn cần xét.

4. Tính giá trị của hàm số tại các điểm tới hạn và tại các đầu mút của đoạn:
   - Tại $ x = \frac{1}{3} $:
     $$
     y\left(\frac{1}{3}\right) = 2\left(\frac{1}{3}\right)^3 + \frac{1}{2\left(\frac{1}{3}\right)} = 2\left(\frac{1}{27}\right) + \frac{3}{2} = \frac{2}{27} + \frac{3}{2} = \frac{2}{27} + \frac{81}{54} = \frac{4}{54} + \frac{81}{54} = \frac{85}{54}
     $$

- Tại $ x = \frac{3}{2} $:
     $$
     y\left(\frac{3}{2}\right) = 2\left(\frac{3}{2}\right)^3 + \frac{1}{2\left(\frac{3}{2}\right)} = 2\left(\frac{27}{8}\right) + \frac{1}{3} = \frac{54}{8} + \frac{1}{3} = \frac{27}{4} + \frac{1}{3} = \frac{81}{12} + \frac{4}{12} = \frac{85}{12}
     $$

- Tại $ x = \frac{1}{\sqrt[4]{12}} $:
     $$
     y\left(\frac{1}{\sqrt[4]{12}}\right) = 2\left(\frac{1}{\sqrt[4]{12}}\right)^3 + \frac{1}{2\left(\frac{1}{\sqrt[4]{12}}\right)}
     $$
     $$
     y\left(\frac{1}{\sqrt[4]{12}}\right) = 2\left(\frac{1}{\sqrt[4]{12^3}}\right) + \frac{\sqrt[4]{12}}{2}
     $$
     $$
     y\left(\frac{1}{\sqrt[4]{12}}\right) = 2\left(\frac{1}{\sqrt[4]{1728}}\right) + \frac{\sqrt[4]{12}}{2}
     $$
     $$
     y\left(\frac{1}{\sqrt[4]{12}}\right) = 2\left(\frac{1}{12^{3/4}}\right) + \frac{12^{1/4}}{2}
     $$
     $$
     y\left(\frac{1}{\sqrt[4]{12}}\right) = \frac{2}{12^{3/4}} + \frac{12^{1/4}}{2}
     $$

5. So sánh các giá trị đã tính:
   - $ y\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{85}{54} $
   - $ y\left(\frac{3}{2}\right) = \frac{85}{12} $
   - $ y\left(\frac{1}{\sqrt[4]{12}}\right) = \frac{2}{12^{3/4}} + \frac{12^{1/4}}{2} $

Sau khi so sánh, ta thấy rằng giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $\left[\frac{1}{3}, \frac{3}{2}\right]$ là tại $ x = 1 $.

Vậy, đáp án đúng là:
$$ D.~x=1 $$

Câu 19:
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Xác định miền xác định của hàm số.
2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trong miền xác định đó.

Bước 1: Xác định miền xác định của hàm số
Hàm số $ f(x) = \sqrt{2x + 14} + \sqrt{5 - x} $ có các điều kiện xác định:
- $ 2x + 14 \geq 0 $
- $ 5 - x \geq 0 $

Giải các bất phương trình trên:
$$ 2x + 14 \geq 0 \implies x \geq -7 $$
$$ 5 - x \geq 0 \implies x \leq 5 $$

Vậy miền xác định của hàm số là:
$$ -7 \leq x \leq 5 $$

Bước 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
Chúng ta sẽ kiểm tra các điểm đầu và cuối của miền xác định để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.

Tại $ x = -7 $:
$$ f(-7) = \sqrt{2(-7) + 14} + \sqrt{5 - (-7)} = \sqrt{-14 + 14} + \sqrt{5 + 7} = \sqrt{0} + \sqrt{12} = 0 + 2\sqrt{3} = 2\sqrt{3} $$

Tại $ x = 5 $:
$$ f(5) = \sqrt{2(5) + 14} + \sqrt{5 - 5} = \sqrt{10 + 14} + \sqrt{0} = \sqrt{24} + 0 = 2\sqrt{6} $$

Kết luận
So sánh các giá trị đã tính:
- Tại $ x = -7 $, $ f(-7) = 2\sqrt{3} $
- Tại $ x = 5 $, $ f(5) = 2\sqrt{6} $

Vì $ 2\sqrt{6} > 2\sqrt{3} $, nên giá trị lớn nhất của hàm số là $ 2\sqrt{6} $ và giá trị nhỏ nhất của hàm số là $ 2\sqrt{3} $.

Do đó, mệnh đề đúng là:
B. Hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng $ 2\sqrt{6} $.

Câu 20:
Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số $ y = \sqrt{x-3} + \sqrt{5-x} $, chúng ta cần thực hiện các bước sau:

1. Xác định miền xác định của hàm số:
   - Điều kiện để $ \sqrt{x-3} $ có nghĩa là $ x - 3 \geq 0 $, tức là $ x \geq 3 $.
   - Điều kiện để $ \sqrt{5-x} $ có nghĩa là $ 5 - x \geq 0 $, tức là $ x \leq 5 $.

Kết hợp hai điều kiện trên, ta có miền xác định của hàm số là:
   $$
   3 \leq x \leq 5
   $$

2. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số trong miền xác định:
   - Ta sẽ sử dụng phương pháp đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất của hàm số.

Đặt $ f(x) = \sqrt{x-3} + \sqrt{5-x} $.

Tính đạo hàm của $ f(x) $:
   $$
   f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \sqrt{x-3} + \sqrt{5-x} \right)
   $$
   $$
   f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x-3}} - \frac{1}{2\sqrt{5-x}}
   $$

Để tìm điểm cực trị, ta giải phương trình $ f'(x) = 0 $:
   $$
   \frac{1}{2\sqrt{x-3}} - \frac{1}{2\sqrt{5-x}} = 0
   $$
   $$
   \frac{1}{\sqrt{x-3}} = \frac{1}{\sqrt{5-x}}
   $$
   $$
   \sqrt{x-3} = \sqrt{5-x}
   $$
   $$
   x - 3 = 5 - x
   $$
   $$
   2x = 8
   $$
   $$
   x = 4
   $$

3. Kiểm tra giá trị của hàm số tại các điểm biên và điểm cực trị:
   - Tại $ x = 3 $:
     $$
     f(3) = \sqrt{3-3} + \sqrt{5-3} = 0 + \sqrt{2} = \sqrt{2}
     $$

- Tại $ x = 4 $:
     $$
     f(4) = \sqrt{4-3} + \sqrt{5-4} = \sqrt{1} + \sqrt{1} = 1 + 1 = 2
     $$

- Tại $ x = 5 $:
     $$
     f(5) = \sqrt{5-3} + \sqrt{5-5} = \sqrt{2} + 0 = \sqrt{2}
     $$

4. Kết luận:
   - Giá trị lớn nhất của hàm số $ y = \sqrt{x-3} + \sqrt{5-x} $ là 2, đạt được khi $ x = 4 $.

Do đó, đáp án đúng là:
$$
\boxed{D.~2}
$$