Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. chứng minh định lý AH2=BH.CH

Question

Accepted Answer

Để chứng minh định lý $ AH^2 = BH \cdot CH $ trong tam giác vuông $ \triangle ABC $ vuông tại $ A $, với $ AH $ là đường cao từ $ A $ xuống cạnh huyền $ BC $, ta thực hiện các bước sau:

1. Xét tam giác vuông $ \triangle ABH $ và $ \triangle AHC $:

- Tam giác $ \triangle ABH $ vuông tại $ H $ và tam giác $ \triangle AHC $ cũng vuông tại $ H $.

2. Sử dụng định lý đồng dạng:

- Trong tam giác vuông $ \triangle ABC $, đường cao $ AH $ chia tam giác thành hai tam giác nhỏ hơn là $ \triangle ABH $ và $ \triangle AHC $, cả hai đều đồng dạng với tam giác $ \triangle ABC $ và đồng dạng với nhau. Điều này là do cả ba tam giác đều có một góc vuông và góc chung $ \angle AHB = \angle AHC $.

3. Thiết lập tỉ lệ đồng dạng:

- Từ sự đồng dạng của tam giác $ \triangle ABH $ và $ \triangle AHC $, ta có:
     $$
     \frac{AH}{BH} = \frac{BH}{AB} \quad \text{(1)}
     $$
     $$
     \frac{AH}{CH} = \frac{CH}{AC} \quad \text{(2)}
     $$

4. Nhân chéo các tỉ lệ:

- Từ (1), ta có: $ AH \cdot AB = BH^2 $
   - Từ (2), ta có: $ AH \cdot AC = CH^2 $

5. Sử dụng định lý Pitago:

- Trong tam giác vuông $ \triangle ABC $, theo định lý Pitago, ta có:
     $$
     AB^2 + AC^2 = BC^2
     $$

6. Kết hợp các kết quả:

- Từ các tỉ lệ đồng dạng và định lý Pitago, ta có:
     $$
     AH^2 = \frac{BH^2 \cdot CH^2}{AB^2 \cdot AC^2}
     $$

- Do $ AB^2 + AC^2 = BC^2 $, ta có thể viết lại:
     $$
     AH^2 = BH \cdot CH
     $$

Như vậy, ta đã chứng minh được định lý $ AH^2 = BH \cdot CH $ trong tam giác vuông $ \triangle ABC $.