Giup mik voi b) Xét các số thực dương a,b,x,y u....................,biểu thức $P=x+2y.$,Câu 3. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, $AB=a,$ SA vuông góc với,mặt phẳng đáy và $SA=\sqrt2a.$ Gọi M là trung điểm của BC .,a) Chứng minh $BC\bot(SAM).$,b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SM .,Câu 4. Cho hàm số $f(x)=\ln\frac{x+1}{x+4}.$,Tính giá trị của biểu thức $P=f^\prime(0)+f^\prime(3)+f^\prime(6)+...+f^\prime(2025).$

Question

Accepted Answer

Câu 3:
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước như sau:

a) Chứng minh $BC \bot (SAM)$:

1. Xác định các yếu tố trong hình chóp:
   - Tam giác $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$, do đó $AC = AB = a$ và $BC = a\sqrt{2}$.
   - $SA \bot (ABC)$, do đó $SA \bot BC$.

2. Xác định mặt phẳng $(SAM)$:
   - Mặt phẳng $(SAM)$ chứa các điểm $S, A, M$.
   - $M$ là trung điểm của $BC$, do đó $M$ có tọa độ $\left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0\right)$ nếu đặt $A(0,0,0)$, $B(a,0,0)$, $C(0,a,0)$.

3. Chứng minh $BC \bot (SAM)$:
   - Vì $SA \bot BC$ và $M$ nằm trên $BC$, nên $BC \bot SA$.
   - Trong mặt phẳng $(SAM)$, $SA$ là một đường thẳng, do đó $BC \bot (SAM)$.

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AC$ và $SM$:

1. Xác định tọa độ các điểm:
   - $A(0,0,0)$, $C(0,a,0)$, $S(0,0,\sqrt{2}a)$, $M\left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0\right)$.

2. Phương trình đường thẳng $AC$:
   - Đường thẳng $AC$ có phương trình tham số: $x = 0, y = t, z = 0$ với $0 \leq t \leq a$.

3. Phương trình đường thẳng $SM$:
   - Đường thẳng $SM$ có phương trình tham số: $x = \frac{a}{2}s, y = \frac{a}{2}s, z = \sqrt{2}a(1-s)$ với $0 \leq s \leq 1$.

4. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
   - Vector chỉ phương của $AC$ là $\vec{u} = (0, 1, 0)$.
   - Vector chỉ phương của $SM$ là $\vec{v} = \left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, -\sqrt{2}a\right)$.
   - Vector nối từ $A$ đến $S$ là $\vec{AS} = (0, 0, \sqrt{2}a)$.

5. Tính khoảng cách:
   - Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau $d = \frac{|\vec{AS} \cdot (\vec{u} \times \vec{v})|}{|\vec{u} \times \vec{v}|}$.
   - Tính $\vec{u} \times \vec{v} = \left(-\sqrt{2}a, 0, \frac{a}{2}\right)$.
   - Tính $|\vec{u} \times \vec{v}| = \sqrt{(-\sqrt{2}a)^2 + 0^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{2a^2 + \frac{a^2}{4}} = \frac{\sqrt{9a^2}}{2} = \frac{3a}{2}$.
   - Tính $\vec{AS} \cdot (\vec{u} \times \vec{v}) = (0, 0, \sqrt{2}a) \cdot \left(-\sqrt{2}a, 0, \frac{a}{2}\right) = \sqrt{2}a \cdot \frac{a}{2} = \frac{\sqrt{2}a^2}{2}$.
   - Do đó, $d = \frac{\left|\frac{\sqrt{2}a^2}{2}\right|}{\frac{3a}{2}} = \frac{\sqrt{2}a^2}{3a} = \frac{\sqrt{2}a}{3}$.

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng $AC$ và $SM$ là $\frac{\sqrt{2}a}{3}$.

Câu 4:
Để tính giá trị của biểu thức $ P = f'(0) + f'(3) + f'(6) + \ldots + f'(2025) $ với $ f(x) = \ln \frac{x+1}{x+4} $, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tìm đạo hàm $ f'(x) $:
   $$
   f(x) = \ln \frac{x+1}{x+4}
   $$
   Áp dụng công thức đạo hàm của hàm logarit:
   $$
   f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \ln \frac{x+1}{x+4} \right)
   $$
   Sử dụng công thức đạo hàm của hàm logarit tự nhiên:
   $$
   f'(x) = \frac{1}{\frac{x+1}{x+4}} \cdot \frac{d}{dx} \left( \frac{x+1}{x+4} \right)
   $$
   Đạo hàm của phân thức:
   $$
   \frac{d}{dx} \left( \frac{x+1}{x+4} \right) = \frac{(x+4) \cdot 1 - (x+1) \cdot 1}{(x+4)^2} = \frac{3}{(x+4)^2}
   $$
   Do đó:
   $$
   f'(x) = \frac{x+4}{x+1} \cdot \frac{3}{(x+4)^2} = \frac{3}{(x+1)(x+4)}
   $$

2. Tính giá trị của $ f'(x) $ tại các điểm $ x = 0, 3, 6, \ldots, 2025 $:
   Ta thấy rằng $ x $ tăng dần theo cấp số cộng với công sai $ d = 3 $:
   $$
   x_n = 0 + (n-1) \cdot 3 = 3(n-1)
   $$
   Số hạng cuối cùng $ x_{k} = 2025 $:
   $$
   3(k-1) = 2025 \implies k-1 = 675 \implies k = 676
   $$
   Vậy có 676 số hạng trong tổng $ P $.

3. Tổng $ P $:
   $$
   P = \sum_{n=0}^{675} f'(3n) = \sum_{n=0}^{675} \frac{3}{(3n+1)(3n+4)}
   $$
   Ta có thể tách mỗi số hạng thành hiệu của hai phân số:
   $$
   \frac{3}{(3n+1)(3n+4)} = \frac{A}{3n+1} + \frac{B}{3n+4}
   $$
   Giải hệ phương trình để tìm $ A $ và $ B $:
   $$
   3 = A(3n+4) + B(3n+1)
   $$
   Thay $ n = 0 $:
   $$
   3 = 4A + B
   $$
   Thay $ n = 1 $:
   $$
   3 = 7A + 4B
   $$
   Giải hệ phương trình này:
   $$
   4A + B = 3 \quad \text{(1)}
   $$
   $$
   7A + 4B = 3 \quad \text{(2)}
   $$
   Nhân phương trình (1) với 4:
   $$
   16A + 4B = 12 \quad \text{(3)}
   $$
   Trừ phương trình (2) từ (3):
   $$
   9A = 9 \implies A = 1
   $$
   Thay $ A = 1 $ vào (1):
   $$
   4 + B = 3 \implies B = -1
   $$
   Vậy:
   $$
   \frac{3}{(3n+1)(3n+4)} = \frac{1}{3n+1} - \frac{1}{3n+4}
   $$

4. Tổng $ P $ dưới dạng hiệu của các phân số:
   $$
   P = \sum_{n=0}^{675} \left( \frac{1}{3n+1} - \frac{1}{3n+4} \right)
   $$
   Đây là một dãy telescopique, nên nhiều số hạng sẽ triệt tiêu:
   $$
   P = \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{4} \right) + \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{7} \right) + \ldots + \left( \frac{1}{2026} - \frac{1}{2029} \right)
   $$
   Chỉ còn lại hai số hạng đầu và cuối:
   $$
   P = 1 - \frac{1}{2029}
   $$
   $$
   P = \frac{2029}{2029} - \frac{1}{2029} = \frac{2028}{2029}
   $$

Vậy giá trị của biểu thức $ P $ là:
$$
\boxed{\frac{2028}{2029}}
$$