Giải giúp mình với $16)\left\{\begin{array}{l}\frac{6x-3}{y-1}-\frac{2y}{x+1}=5\\frac{4x-2}{y-1}-\frac{4y}{x+1}=2\end{array} ight.$ $17)\left\{\begin{array}{l}\frac5{x+y-3}-\frac2{x-y+1}=8\\frac3{x+y-3}+\frac1{x-y+1}=1,5\end{array} ight.$ $18)\left\{\begin{array}{l}\frac4{x+y-1}-\frac5{2x-y+3}=\frac52\\frac3{x+y-1}+\frac1{2x-y+3}=\frac75\end{array} ight.$

Question

Giải giúp mình với $16)\left\{\begin{array}{l}\frac{6x-3}{y-1}-\frac{2y}{x+1}=5\\frac{4x-2}{y-1}-\frac{4y}{x+1}=2\end{array}ight.$ $17)\left\{\begin{array}{l}\frac5{x+y-3}-\frac2{x-y+1}=8\\frac3{x+y-3}+\frac1{x-y+1}=1,5\end{array}ight.$ $18)\left\{\begin{array}{l}\frac4{x+y-1}-\frac5{2x-y+3}=\frac52\\frac3{x+y-1}+\frac1{2x-y+3}=\frac75\end{array}ight.$

Accepted Answer

Bài 16:
Điều kiện xác định: $ y \neq 1 $; $ x \neq -1 $

Đặt $ u = \frac{1}{y-1} $ và $ v = \frac{1}{x+1} $

Ta có hệ phương trình mới:
$$ 
\begin{cases}
(6x - 3)u - 2yv = 5 \
(4x - 2)u - 4yv = 2
\end{cases}
$$

Nhân phương trình thứ nhất với 2:
$$ 
\begin{cases}
2(6x - 3)u - 4yv = 10 \
(4x - 2)u - 4yv = 2
\end{cases}
$$

Trừ hai phương trình trên:
$$ 
(12x - 6)u - (4x - 2)u = 10 - 2 \
(12x - 6 - 4x + 2)u = 8 \
(8x - 4)u = 8 \
u = \frac{8}{8x - 4} = \frac{2}{2x - 1}
$$

Thay $ u = \frac{2}{2x - 1} $ vào phương trình đầu tiên:
$$ 
(6x - 3) \cdot \frac{2}{2x - 1} - 2yv = 5 \
\frac{12x - 6}{2x - 1} - 2yv = 5 \
12x - 6 - 2yv(2x - 1) = 5(2x - 1) \
12x - 6 - 4xyv + 2yv = 10x - 5 \
2x - 4xyv + 2yv = 1 \
2x(1 - 2yv) + 2yv = 1 \
2x(1 - 2yv) = 1 - 2yv \
2x = 1 \
x = \frac{1}{2}
$$

Thay $ x = \frac{1}{2} $ vào $ u = \frac{2}{2x - 1} $:
$$ 
u = \frac{2}{2 \cdot \frac{1}{2} - 1} = \frac{2}{1 - 1} = \text{không xác định}
$$

Do đó, không có nghiệm thỏa mãn điều kiện xác định.

Bài 17:
Điều kiện xác định: $ x + y - 3 \neq 0 $; $ x - y + 1 \neq 0 $

Đặt $ u = \frac{1}{x + y - 3} $ và $ v = \frac{1}{x - y + 1} $

Ta có hệ phương trình mới:
$$ 
\begin{cases}
5u - 2v = 8 \
3u + v = 1,5
\end{cases}
$$

Nhân phương trình thứ hai với 2:
$$ 
\begin{cases}
5u - 2v = 8 \
6u + 2v = 3
\end{cases}
$$

Cộng hai phương trình trên:
$$ 
11u = 11 \
u = 1
$$

Thay $ u = 1 $ vào phương trình thứ hai:
$$ 
3 \cdot 1 + v = 1,5 \
3 + v = 1,5 \
v = 1,5 - 3 \
v = -1,5
$$

Thay $ u = 1 $ và $ v = -1,5 $ vào $ u = \frac{1}{x + y - 3} $ và $ v = \frac{1}{x - y + 1} $:
$$ 
1 = \frac{1}{x + y - 3} \
x + y - 3 = 1 \
x + y = 4
$$

$$ 
-1,5 = \frac{1}{x - y + 1} \
x - y + 1 = -\frac{2}{3} \
x - y = -\frac{5}{3}
$$

Giải hệ phương trình:
$$ 
\begin{cases}
x + y = 4 \
x - y = -\frac{5}{3}
\end{cases}
$$

Cộng hai phương trình:
$$ 
2x = 4 - \frac{5}{3} \
2x = \frac{12}{3} - \frac{5}{3} \
2x = \frac{7}{3} \
x = \frac{7}{6}
$$

Thay $ x = \frac{7}{6} $ vào $ x + y = 4 $:
$$ 
\frac{7}{6} + y = 4 \
y = 4 - \frac{7}{6} \
y = \frac{24}{6} - \frac{7}{6} \
y = \frac{17}{6}
$$

Vậy nghiệm của hệ phương trình là $ x = \frac{7}{6} $ và $ y = \frac{17}{6} $.

Bài 18:
Điều kiện xác định: $ x + y - 1 \neq 0 $; $ 2x - y + 3 \neq 0 $

Đặt $ u = \frac{1}{x + y - 1} $ và $ v = \frac{1}{2x - y + 3} $

Ta có hệ phương trình mới:
$$ 
\begin{cases}
4u - 5v = \frac{5}{2} \
3u + v = \frac{7}{5}
\end{cases}
$$

Nhân phương trình thứ hai với 5:
$$ 
\begin{cases}
4u - 5v = \frac{5}{2} \
15u + 5v = 7
\end{cases}
$$

Cộng hai phương trình trên:
$$ 
19u = \frac{5}{2} + 7 \
19u = \frac{5}{2} + \frac{14}{2} \
19u = \frac{19}{2} \
u = \frac{1}{2}
$$

Thay $ u = \frac{1}{2} $ vào phương trình thứ hai:
$$ 
3 \cdot \frac{1}{2} + v = \frac{7}{5} \
\frac{3}{2} + v = \frac{7}{5} \
v = \frac{7}{5} - \frac{3}{2} \
v = \frac{14}{10} - \frac{15}{10} \
v = -\frac{1}{10}
$$

Thay $ u = \frac{1}{2} $ và $ v = -\frac{1}{10} $ vào $ u = \frac{1}{x + y - 1} $ và $ v = \frac{1}{2x - y + 3} $:
$$ 
\frac{1}{2} = \frac{1}{x + y - 1} \
x + y - 1 = 2 \
x + y = 3
$$

$$ 
-\frac{1}{10} = \frac{1}{2x - y + 3} \
2x - y + 3 = -10 \
2x - y = -13
$$

Giải hệ phương trình:
$$ 
\begin{cases}
x + y = 3 \
2x - y = -13
\end{cases}
$$

Cộng hai phương trình:
$$ 
3x = -10 \
x = -\frac{10}{3}
$$

Thay $ x = -\frac{10}{3} $ vào $ x + y = 3 $:
$$ 
-\frac{10}{3} + y = 3 \
y = 3 + \frac{10}{3} \
y = \frac{9}{3} + \frac{10}{3} \
y = \frac{19}{3}
$$

Vậy nghiệm của hệ phương trình là $ x = -\frac{10}{3} $ và $ y = \frac{19}{3} $.