Giúp em với ạ Câu 6: Hàm số $y=\frac{5-2x}{x+3}$ nghịch biến trên,$A.~R\setminus-3.$ B. R. $C.~(-\infty;-3).$ $D.~(3;+\infty).$,Câu 7: Cho hàm số $y=\frac{x-2}{x+1}.$ Mệnh đề nào dưới đây đúng?,A. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty;+\infty)$ B. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-1;+\infty)$,C. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty;-1)$ D. Hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty;-1)$,Câu 8: Cho hàm số $y=\frac{x^2+2x-3}{x+1}.$ Phát biểu nào sau đây là đúng?,A. Hàm số đồng biến trên khoảng $(2;4).$,B. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty;+\infty).$,C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-\infty;-1)$ và $(-1;+\infty).$,D. Hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty;-1)$ và nghịch biến trên khoảng $(-1;+\infty).$,Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm $f^\prime(x)=x^2+1,~\forall x\in\mathbb{R}.$ Mệnh đề nào dưới đây đúng?,Câu 9: $(-1;1)$,A. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(1;+\infty)$ B. Hàm số nghịch biến trên khoảng,C. Hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty;+\infty)$ D. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty;0)$,Câu 10: Cho hàm số $y=\frac13x^3-\frac12x^2-12x-1.$ Mệnh đề nào sau đây là đúng?,A. Hàm số đồng biến trên khoảng $-3;4$,B. Hàm số đồng biến trên khoảng $4;+\infty.$,C. Hàm số nghịch biến trên khoảng $-\infty;4.$,D. Hàm số nghịch biến trên khoảng $-3;+\infty.$,Câu 11: Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm $f^\prime(x)=x(x-2)^3,$ với mọi $x\in\mathbb{R}.$ Hàm số đã cho nghịch biến,trên khoảng nào dưới đây?,$A.~(1;3).$ $B.~(-1;0).$ $C.~(0;1).$ $D.~(-2;0).$,Câu 12: Hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm $y^\prime=x^2.$ Mệnh đề nào sau đây đúng?,A. Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}.$,B. Hàm số nghịch biến trên $(-\infty;0)$ và đồng biến trên $(0;+\infty).$,C. Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}.$,D. Hàm số đồng biến trên $(-\infty;0)$ và nghịch biến trên $(0;+\infty).$

Question

Accepted Answer

Câu 6: Để xác định khoảng nghịch biến của hàm số $ y = \frac{5 - 2x}{x + 3} $, ta cần tính đạo hàm của hàm số này và xét dấu của đạo hàm. Bước 1: Tính đạo hàm $ y' $. Hàm số $ y = \frac{5 - 2x}{x + 3} $ là một phân thức, do đó ta sẽ sử dụng công thức đạo hàm của phân thức: $$ y' = \frac{(5 - 2x)'(x + 3) - (5 - 2x)(x + 3)'}{(x + 3)^2} $$ Tính đạo hàm từng phần: $$ (5 - 2x)' = -2 $$ $$ (x + 3)' = 1 $$ Thay vào công thức: $$ y' = \frac{-2(x + 3) - (5 - 2x) \cdot 1}{(x + 3)^2} $$ $$ y' = \frac{-2x - 6 - 5 + 2x}{(x + 3)^2} $$ $$ y' = \frac{-11}{(x + 3)^2} $$ Bước 2: Xét dấu của đạo hàm $ y' $. Ta thấy rằng $ y' = \frac{-11}{(x + 3)^2} $. Vì $ (x + 3)^2 > 0 $ với mọi $ x \neq -3 $, nên $ y' < 0 $ với mọi $ x \neq -3 $. Bước 3: Kết luận khoảng nghịch biến. Do $ y' < 0 $ với mọi $ x \neq -3 $, hàm số $ y = \frac{5 - 2x}{x + 3} $ nghịch biến trên các khoảng $ (-\infty, -3) $ và $ (-3, +\infty) $. Vậy đáp án đúng là: $$ C.~(-\infty; -3) $$ Câu 7: Để xác định tính đơn điệu của hàm số $ y = \frac{x-2}{x+1} $, ta cần tìm đạo hàm của hàm số và xét dấu của đạo hàm này trên các khoảng xác định. Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số. Hàm số $ y = \frac{x-2}{x+1} $ có mẫu số $ x + 1 \neq 0 $. Do đó, tập xác định của hàm số là: $$ D = \mathbb{R} \setminus \{-1\} $$ Bước 2: Tính đạo hàm của hàm số. Sử dụng công thức đạo hàm của phân thức: $$ y' = \frac{(x-2)'(x+1) - (x-2)(x+1)'}{(x+1)^2} $$ $$ y' = \frac{1 \cdot (x+1) - (x-2) \cdot 1}{(x+1)^2} $$ $$ y' = \frac{x + 1 - x + 2}{(x+1)^2} $$ $$ y' = \frac{3}{(x+1)^2} $$ Bước 3: Xét dấu của đạo hàm. Do $ (x+1)^2 > 0 $ với mọi $ x \neq -1 $, nên $ y' = \frac{3}{(x+1)^2} > 0 $ với mọi $ x \neq -1 $. Bước 4: Kết luận về tính đơn điệu của hàm số. - Vì $ y' > 0 $ trên các khoảng $ (-\infty, -1) $ và $ (-1, +\infty) $, hàm số đồng biến trên các khoảng này. Vậy, đáp án đúng là: D. Hàm số đồng biến trên khoảng $ (-\infty; -1) $. Câu 8: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số $ y = \frac{x^2 + 2x - 3}{x + 1} $. 2. Xác định các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số dựa vào dấu của đạo hàm. Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số $ y = \frac{x^2 + 2x - 3}{x + 1} $. Áp dụng công thức đạo hàm của phân thức: $$ y' = \frac{(x^2 + 2x - 3)'(x + 1) - (x^2 + 2x - 3)(x + 1)'}{(x + 1)^2} $$ Tính đạo hàm của tử số và mẫu số: $$ (x^2 + 2x - 3)' = 2x + 2 $$ $$ (x + 1)' = 1 $$ Thay vào công thức: $$ y' = \frac{(2x + 2)(x + 1) - (x^2 + 2x - 3)(1)}{(x + 1)^2} $$ $$ y' = \frac{2x^2 + 2x + 2x + 2 - x^2 - 2x + 3}{(x + 1)^2} $$ $$ y' = \frac{x^2 + 2x + 5}{(x + 1)^2} $$ Bước 2: Xác định các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số. Để xác định các khoảng đồng biến và nghịch biến, chúng ta cần xét dấu của đạo hàm $ y' $. $$ y' = \frac{x^2 + 2x + 5}{(x + 1)^2} $$ Nhận thấy rằng $ x^2 + 2x + 5 $ là một đa thức bậc hai có biệt thức $ \Delta = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 - 20 = -16 $, nên nó không có nghiệm thực và luôn dương (vì hệ số $ x^2 $ là dương). Do đó, $ y' > 0 $ với mọi $ x \neq -1 $. Vậy hàm số $ y = \frac{x^2 + 2x - 3}{x + 1} $ đồng biến trên các khoảng $ (-\infty, -1) $ và $ (-1, +\infty) $. Kết luận: Đáp án đúng là D. Hàm số đồng biến trên khoảng $ (-\infty, -1) $ và nghịch biến trên khoảng $ (-1, +\infty) $. Câu 9: Để xác định tính đơn điệu của hàm số, chúng ta cần tìm đạo hàm của hàm số và xét dấu của đạo hàm trên các khoảng đã cho. Giả sử hàm số đã cho là $ f(x) $. Chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm $ f'(x) $. 2. Xác định các khoảng mà đạo hàm $ f'(x) $ tồn tại. 3. Xét dấu của $ f'(x) $ trên các khoảng đó để xác định tính đơn điệu của hàm số. Giả sử hàm số đã cho là $ f(x) = -x^3 + 3x $. Bước 1: Tìm đạo hàm $ f'(x) $: $$ f'(x) = -3x^2 + 3 $$ Bước 2: Xác định các khoảng mà đạo hàm $ f'(x) $ tồn tại: $$ f'(x) = -3x^2 + 3 $$ Đạo hàm này tồn tại trên toàn bộ miền số thực $ \mathbb{R} $. Bước 3: Xét dấu của $ f'(x) $ trên các khoảng: $$ f'(x) = -3x^2 + 3 $$ $$ f'(x) = 0 \implies -3x^2 + 3 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1 $$ Xét dấu của $ f'(x) $ trên các khoảng $ (-\infty, -1) $, $ (-1, 1) $, và $ (1, +\infty) $: - Trên khoảng $ (-\infty, -1) $: Chọn $ x = -2 $: $$ f'(-2) = -3(-2)^2 + 3 = -3(4) + 3 = -12 + 3 = -9 < 0 $$ Hàm số nghịch biến trên khoảng $ (-\infty, -1) $. - Trên khoảng $ (-1, 1) $: Chọn $ x = 0 $: $$ f'(0) = -3(0)^2 + 3 = 3 > 0 $$ Hàm số đồng biến trên khoảng $ (-1, 1) $. - Trên khoảng $ (1, +\infty) $: Chọn $ x = 2 $: $$ f'(2) = -3(2)^2 + 3 = -3(4) + 3 = -12 + 3 = -9 < 0 $$ Hàm số nghịch biến trên khoảng $ (1, +\infty) $. Từ các kết quả trên, chúng ta có: A. Hàm số nghịch biến trên khoảng $ (1;+\infty) $ B. Hàm số nghịch biến trên khoảng $ (-1;1) $ C. Hàm số đồng biến trên khoảng $ (-\infty;+\infty) $ D. Hàm số nghịch biến trên khoảng $ (-\infty;0) $ Do đó, đáp án đúng là: A. Hàm số nghịch biến trên khoảng $ (1;+\infty) $ Câu 10: Để xác định tính đơn điệu của hàm số $ y = \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 - 12x - 1 $, ta cần tìm đạo hàm của hàm số và xét dấu của đạo hàm. Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số. $$ y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 - 12x - 1\right) $$ $$ y' = x^2 - x - 12 $$ Bước 2: Giải phương trình $ y' = 0 $ để tìm các điểm tới hạn. $$ x^2 - x - 12 = 0 $$ $$ (x - 4)(x + 3) = 0 $$ $$ x = 4 \quad \text{hoặc} \quad x = -3 $$ Bước 3: Xét dấu của đạo hàm $ y' $ trên các khoảng xác định bởi các điểm tới hạn $ x = -3 $ và $ x = 4 $. - Trên khoảng $ (-\infty, -3) $: Chọn $ x = -4 $: $$ y'(-4) = (-4)^2 - (-4) - 12 = 16 + 4 - 12 = 8 > 0 $$ Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $ (-\infty, -3) $. - Trên khoảng $ (-3, 4) $: Chọn $ x = 0 $: $$ y'(0) = 0^2 - 0 - 12 = -12 < 0 $$ Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $ (-3, 4) $. - Trên khoảng $ (4, +\infty) $: Chọn $ x = 5 $: $$ y'(5) = 5^2 - 5 - 12 = 25 - 5 - 12 = 8 > 0 $$ Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $ (4, +\infty) $. Kết luận: - Hàm số đồng biến trên khoảng $ (-\infty, -3) $ và $ (4, +\infty) $. - Hàm số nghịch biến trên khoảng $ (-3, 4) $. Do đó, đáp án đúng là: A. Hàm số đồng biến trên khoảng $ -3;4 $ Đáp án: A. Hàm số đồng biến trên khoảng $ -3;4 $. Câu 11: Để xác định khoảng nghịch biến của hàm số $ y = f(x) $ có đạo hàm $ f'(x) = x(x-2)^3 $, ta cần xét dấu của đạo hàm này. 1. Tìm các điểm dừng và điểm suy biến: - Đặt $ f'(x) = 0 $: $$ x(x-2)^3 = 0 $$ Giải phương trình này: $$ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad (x-2)^3 = 0 \implies x = 2 $$ 2. Xét dấu của $ f'(x) $ trên các khoảng xác định: - Các khoảng cần xét là $ (-\infty, 0) $, $ (0, 2) $, và $ (2, +\infty) $. - Trên khoảng $ (-\infty, 0) $: Chọn $ x = -1 $: $$ f'(-1) = (-1)(-1-2)^3 = (-1)(-3)^3 = (-1)(-27) = 27 > 0 $$ Do đó, $ f'(x) > 0 $ trên $ (-\infty, 0) $. - Trên khoảng $ (0, 2) $: Chọn $ x = 1 $: $$ f'(1) = (1)(1-2)^3 = (1)(-1)^3 = (1)(-1) = -1 < 0 $$ Do đó, $ f'(x) < 0 $ trên $ (0, 2) $. - Trên khoảng $ (2, +\infty) $: Chọn $ x = 3 $: $$ f'(3) = (3)(3-2)^3 = (3)(1)^3 = (3)(1) = 3 > 0 $$ Do đó, $ f'(x) > 0 $ trên $ (2, +\infty) $. 3. Kết luận: - Hàm số $ f(x) $ nghịch biến trên khoảng mà $ f'(x) < 0 $. - Từ các kết quả trên, ta thấy rằng $ f'(x) < 0 $ trên khoảng $ (0, 2) $. Do đó, hàm số $ f(x) $ nghịch biến trên khoảng $ (0, 1) $. Đáp án đúng là: $$ C.~(0;1). $$ Câu 12: Để xác định tính đơn điệu của hàm số $ y = f(x) $ có đạo hàm $ y' = x^2 $, ta cần phân tích dấu của đạo hàm này trên các khoảng khác nhau. 1. Phân tích dấu của đạo hàm $ y' = x^2 $: - Đạo hàm $ y' = x^2 $ là một biểu thức bình phương, do đó nó luôn không âm ($ x^2 \geq 0 $) cho mọi $ x \in \mathbb{R} $. 2. Xác định tính đơn điệu của hàm số: - Vì $ y' = x^2 \geq 0 $ cho mọi $ x \in \mathbb{R} $, hàm số $ y = f(x) $ sẽ đồng biến trên toàn bộ tập số thực $ \mathbb{R} $. 3. Kết luận: - Hàm số $ y = f(x) $ đồng biến trên $ \mathbb{R} $. Do đó, mệnh đề đúng là: C. Hàm số đồng biến trên $ \mathbb{R} $.