Tính xác suất để số đó chia hết cho 5. Bài IV (1,0 điểm) Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 7 chữ số sao cho trong mỗi số đó chữ số 0 xuất,hiện đúng 3 lần. Chọn ngẫu nhiên một số thuộc S, tính xác suất để số đó chia hết cho 5.

Question

Accepted Answer

Bài IV:
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Xác định tổng số phần tử của tập hợp S.
2. Xác định số phần tử của tập hợp con của S mà các số chia hết cho 5.
3. Tính xác suất.

Bước 1: Xác định tổng số phần tử của tập hợp S

Tập hợp S bao gồm các số tự nhiên có 7 chữ số, trong đó chữ số 0 xuất hiện đúng 3 lần. Chúng ta cần chọn vị trí cho 3 chữ số 0 trong 7 vị trí.

Số cách chọn 3 vị trí từ 7 vị trí là:
$$ C_7^3 = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35 $$

Các vị trí còn lại (4 vị trí) sẽ được lấp đầy bởi các chữ số khác 0 (từ 1 đến 9). Mỗi vị trí có 9 lựa chọn.

Do đó, tổng số phần tử của tập hợp S là:
$$ 35 \times 9^4 = 35 \times 6561 = 229635 $$

Bước 2: Xác định số phần tử của tập hợp con của S mà các số chia hết cho 5

Một số chia hết cho 5 nếu chữ số cuối cùng của nó là 0 hoặc 5. Vì trong mỗi số của S, chữ số 0 xuất hiện đúng 3 lần, nên chúng ta cần xét hai trường hợp:

Trường hợp 1: Chữ số cuối cùng là 0

Trong trường hợp này, chúng ta đã sử dụng một trong ba chữ số 0 cho vị trí cuối cùng. Do đó, chúng ta cần chọn 2 vị trí từ 6 vị trí còn lại để đặt chữ số 0.

Số cách chọn 2 vị trí từ 6 vị trí là:
$$ C_6^2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15 $$

Các vị trí còn lại (4 vị trí) sẽ được lấp đầy bởi các chữ số khác 0 (từ 1 đến 9). Mỗi vị trí có 9 lựa chọn.

Do đó, số phần tử trong trường hợp này là:
$$ 15 \times 9^3 = 15 \times 729 = 10935 $$

Trường hợp 2: Chữ số cuối cùng là 5

Trong trường hợp này, chúng ta không sử dụng chữ số 0 cho vị trí cuối cùng. Do đó, chúng ta cần chọn 3 vị trí từ 6 vị trí còn lại để đặt chữ số 0.

Số cách chọn 3 vị trí từ 6 vị trí là:
$$ C_6^3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20 $$

Các vị trí còn lại (3 vị trí) sẽ được lấp đầy bởi các chữ số khác 0 (từ 1 đến 9). Mỗi vị trí có 9 lựa chọn.

Do đó, số phần tử trong trường hợp này là:
$$ 20 \times 9^3 = 20 \times 729 = 14580 $$

Bước 3: Tính xác suất

Tổng số phần tử của tập hợp con của S mà các số chia hết cho 5 là:
$$ 10935 + 14580 = 25515 $$

Xác suất để một số thuộc S chia hết cho 5 là:
$$ P = \frac{25515}{229635} = \frac{1}{9} $$

Vậy xác suất để một số thuộc S chia hết cho 5 là:
$$ \boxed{\frac{1}{9}} $$