Chứng minh BĐT. 1) Cho cấp số cộng $(u_n)$ thỏa mãn $u_1=1$ và công sai $d0.$ Chứng minh,$\frac1{u_1u_2}+\frac1{u_2u_3}+...+\frac1{u_{2023}u_{2024}}

Question

Chứng minh BĐT. 1) Cho cấp số cộng $(u_n)$ thỏa mãn $u_1=1$ và công sai $d>0.$ Chứng minh,$\frac1{u_1u_2}+\frac1{u_2u_3}+...+\frac1{u_{2023}u_{2024}}<\frac1d.$

Accepted Answer

Để chứng minh bất đẳng thức $\frac{1}{u_1 u_2} + \frac{1}{u_2 u_3} + \ldots + \frac{1}{u_{2023} u_{2024}} < \frac{1}{d}$ cho cấp số cộng $(u_n)$ với $u_1 = 1$ và công sai $d > 0$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định công thức tổng quát của $u_n$: - Cấp số cộng có công thức tổng quát là $u_n = u_1 + (n-1)d$. - Với $u_1 = 1$, ta có $u_n = 1 + (n-1)d$. 2. Biểu diễn các hạng tử trong tổng: - Ta cần biểu diễn $\frac{1}{u_k u_{k+1}}$ dưới dạng đơn giản hơn. - Ta có $u_k = 1 + (k-1)d$ và $u_{k+1} = 1 + kd$. - Do đó, $\frac{1}{u_k u_{k+1}} = \frac{1}{(1 + (k-1)d)(1 + kd)}$. 3. Phân tích từng hạng tử: - Ta sẽ sử dụng phương pháp phân tích thành tổng của hai phân số để đơn giản hóa. - Ta viết $\frac{1}{(1 + (k-1)d)(1 + kd)}$ dưới dạng $\frac{A}{1 + (k-1)d} + \frac{B}{1 + kd}$. - Giải hệ phương trình để tìm $A$ và $B$: $$ \frac{1}{(1 + (k-1)d)(1 + kd)} = \frac{A}{1 + (k-1)d} + \frac{B}{1 + kd} $$ Nhân chéo và so sánh hệ số, ta có: $$ 1 = A(1 + kd) + B(1 + (k-1)d) $$ $$ 1 = A + Akd + B + B(k-1)d $$ $$ 1 = (A + B) + d(Ak + B(k-1)) $$ So sánh hệ số, ta có: $$ A + B = 1 $$ $$ Ak + B(k-1) = 0 $$ Giải hệ này, ta tìm được: $$ A = \frac{1}{d}, \quad B = \frac{-1}{d} $$ 4. Tổng hợp các hạng tử: - Ta có: $$ \frac{1}{(1 + (k-1)d)(1 + kd)} = \frac{1/d}{1 + (k-1)d} - \frac{1/d}{1 + kd} $$ - Tổng từ $k = 1$ đến $k = 2023$: $$ \sum_{k=1}^{2023} \left( \frac{1/d}{1 + (k-1)d} - \frac{1/d}{1 + kd} \right) $$ - Đây là một tổng telescoping, nghĩa là nhiều hạng tử sẽ triệt tiêu lẫn nhau: $$ \left( \frac{1/d}{1} - \frac{1/d}{1 + d} \right) + \left( \frac{1/d}{1 + d} - \frac{1/d}{1 + 2d} \right) + \ldots + \left( \frac{1/d}{1 + 2022d} - \frac{1/d}{1 + 2023d} \right) $$ - Sau khi triệt tiêu, ta còn lại: $$ \frac{1/d}{1} - \frac{1/d}{1 + 2023d} = \frac{1}{d} - \frac{1}{d(1 + 2023d)} $$ - Vì $d > 0$, nên $\frac{1}{d(1 + 2023d)} > 0$, do đó: $$ \frac{1}{d} - \frac{1}{d(1 + 2023d)} < \frac{1}{d} $$ 5. Kết luận: - Ta đã chứng minh rằng: $$ \frac{1}{u_1 u_2} + \frac{1}{u_2 u_3} + \ldots + \frac{1}{u_{2023} u_{2024}} < \frac{1}{d} $$ Điều này hoàn tất việc chứng minh bất đẳng thức.