Giải hệ phương trình. 1. Giải hệ phương trình sau trên tập số thực $\left\{\begin{array}{l}(4x^2+1)x+(y-3)\sqrt{5-2y}=0\4x^2+y^2+2\sqrt{3-4x}=7\end{array} ight.$

Question

Giải hệ phương trình. 1. Giải hệ phương trình sau trên tập số thực $\left\{\begin{array}{l}(4x^2+1)x+(y-3)\sqrt{5-2y}=0\4x^2+y^2+2\sqrt{3-4x}=7\end{array}ight.$

Accepted Answer

Để giải hệ phương trình:
$$
\left\{
\begin{array}{l}
(4x^2+1)x + (y-3)\sqrt{5-2y} = 0 \
4x^2 + y^2 + 2\sqrt{3-4x} = 7
\end{array}
\right.
$$

Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ).

- Điều kiện cho $\sqrt{5-2y}$:
$$ 
5 - 2y \geq 0 \implies y \leq \frac{5}{2}
$$

- Điều kiện cho $\sqrt{3-4x}$:
$$ 
3 - 4x \geq 0 \implies x \leq \frac{3}{4}
$$

Bước 2: Giải phương trình đầu tiên.

Phương trình đầu tiên:
$$
(4x^2+1)x + (y-3)\sqrt{5-2y} = 0
$$
Ta có thể viết lại thành:
$$
(4x^2+1)x = -(y-3)\sqrt{5-2y}
$$

Bước 3: Thay $y$ từ phương trình thứ hai vào phương trình đầu tiên.

Phương trình thứ hai:
$$
4x^2 + y^2 + 2\sqrt{3-4x} = 7
$$

Giả sử $y = k$. Ta sẽ thử các giá trị $k$ thỏa mãn điều kiện $k \leq \frac{5}{2}$.

Bước 4: Kiểm tra các giá trị khả dĩ của $y$.

Thử $y = 1$:

- Thay $y = 1$ vào phương trình đầu tiên:
$$
(4x^2+1)x + (1-3)\sqrt{5-2 \cdot 1} = 0 \implies (4x^2+1)x - 2\sqrt{3} = 0
$$
$$
(4x^2+1)x = 2\sqrt{3}
$$

- Thay $y = 1$ vào phương trình thứ hai:
$$
4x^2 + 1^2 + 2\sqrt{3-4x} = 7 \implies 4x^2 + 1 + 2\sqrt{3-4x} = 7
$$
$$
4x^2 + 2\sqrt{3-4x} = 6
$$

Bước 5: Giải hệ phương trình mới.

Từ phương trình đầu tiên:
$$
(4x^2+1)x = 2\sqrt{3}
$$

Từ phương trình thứ hai:
$$
4x^2 + 2\sqrt{3-4x} = 6
$$

Giải phương trình thứ hai:
$$
4x^2 = 6 - 2\sqrt{3-4x}
$$
$$
2x^2 = 3 - \sqrt{3-4x}
$$

Bước 6: Tìm giá trị $x$ thỏa mãn cả hai phương trình.

Thử $x = \frac{1}{2}$:

- Thay $x = \frac{1}{2}$ vào phương trình đầu tiên:
$$
(4 \cdot \frac{1}{4} + 1) \cdot \frac{1}{2} = 2\sqrt{3} \implies (1 + 1) \cdot \frac{1}{2} = 2\sqrt{3} \implies 1 = 2\sqrt{3} \quad (\text{sai})
$$

Thử $x = \frac{1}{4}$:

- Thay $x = \frac{1}{4}$ vào phương trình đầu tiên:
$$
(4 \cdot \frac{1}{16} + 1) \cdot \frac{1}{4} = 2\sqrt{3} \implies (\frac{1}{4} + 1) \cdot \frac{1}{4} = 2\sqrt{3} \implies \frac{5}{16} = 2\sqrt{3} \quad (\text{sai})
$$

Thử $x = \frac{1}{3}$:

- Thay $x = \frac{1}{3}$ vào phương trình đầu tiên:
$$
(4 \cdot \frac{1}{9} + 1) \cdot \frac{1}{3} = 2\sqrt{3} \implies (\frac{4}{9} + 1) \cdot \frac{1}{3} = 2\sqrt{3} \implies \frac{13}{27} = 2\sqrt{3} \quad (\text{sai})
$$

Thử $x = \frac{1}{2}$ và $y = 1$:

- Thay $x = \frac{1}{2}$ và $y = 1$ vào phương trình đầu tiên:
$$
(4 \cdot \frac{1}{4} + 1) \cdot \frac{1}{2} = 2\sqrt{3} \implies (1 + 1) \cdot \frac{1}{2} = 2\sqrt{3} \implies 1 = 2\sqrt{3} \quad (\text{sai})
$$

Kết luận: Hệ phương trình không có nghiệm thực.

Đáp số: Không có nghiệm thực.