Tính giới hạn. 1) Tính các giới hạn sau:,$a)~\lim_{n\rightarrow+\infty}(1+\frac13+\frac1{3^2}+...+\frac1{3^n}).$,$b)~\lim_{x\rightarrow1}\frac{\sqrt[3]{x+7}-\sqrt{3x+1}}{x^2-1}.$

Question

Accepted Answer

Câu a) Ta có dãy số $ u_n = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \cdots + \frac{1}{3^n} $.

Dãy này là một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu $ u_1 = 1 $ và công bội $ q = \frac{1}{3} $.

Theo công thức tính tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn, ta có:
$$ S = \frac{u_1}{1 - q} = \frac{1}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{1}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2}. $$

Do đó:
$$ \lim_{n \to +\infty} \left( 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \cdots + \frac{1}{3^n} \right) = \frac{3}{2}. $$

Câu b) Ta cần tính giới hạn:
$$ \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{x+7} - \sqrt{3x+1}}{x^2 - 1}. $$

Trước tiên, ta nhận thấy rằng mẫu số $ x^2 - 1 $ có thể viết lại thành $ (x - 1)(x + 1) $. Do đó, ta sẽ nhân tử số và mẫu số với biểu thức liên hợp để đơn giản hóa.

Biểu thức liên hợp của tử số là $ \sqrt[3]{(x+7)^2} + \sqrt[3]{x+7} \cdot \sqrt{3x+1} + \sqrt{(3x+1)^2} $.

Ta có:
$$ \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{x+7} - \sqrt{3x+1}}{x^2 - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{\left( \sqrt[3]{x+7} - \sqrt{3x+1} \right) \left( \sqrt[3]{(x+7)^2} + \sqrt[3]{x+7} \cdot \sqrt{3x+1} + \sqrt{(3x+1)^2} \right)}{(x - 1)(x + 1) \left( \sqrt[3]{(x+7)^2} + \sqrt[3]{x+7} \cdot \sqrt{3x+1} + \sqrt{(3x+1)^2} \right)}. $$

Tử số trở thành:
$$ (\sqrt[3]{x+7})^3 - (\sqrt{3x+1})^3 = (x + 7) - (3x + 1) = -2x + 6. $$

Do đó, ta có:
$$ \lim_{x \to 1} \frac{-2x + 6}{(x - 1)(x + 1) \left( \sqrt[3]{(x+7)^2} + \sqrt[3]{x+7} \cdot \sqrt{3x+1} + \sqrt{(3x+1)^2} \right)}. $$

Khi $ x \to 1 $, ta có:
$$ -2x + 6 \to -2(1) + 6 = 4, $$
$$ x - 1 \to 0, $$
$$ x + 1 \to 2, $$
$$ \sqrt[3]{(x+7)^2} + \sqrt[3]{x+7} \cdot \sqrt{3x+1} + \sqrt{(3x+1)^2} \to \sqrt[3]{8^2} + \sqrt[3]{8} \cdot \sqrt{4} + \sqrt{4^2} = 4 + 4 + 4 = 12. $$

Do đó, ta có:
$$ \lim_{x \to 1} \frac{4}{0 \cdot 2 \cdot 12} = \lim_{x \to 1} \frac{4}{0} = -\frac{1}{6}. $$

Vậy:
$$ \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{x+7} - \sqrt{3x+1}}{x^2 - 1} = -\frac{1}{6}. $$