Giải bất phương trình.

Bài III: Để giải bất phương trình \(\log_{\sqrt{2}}\sqrt{x+1} - \log_{\frac{1}{2}}(3-x) - \log_8(x+3)^2 < 0\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) - Điều kiện để \(\sqrt{x+1}\) có nghĩa là \(x + 1 \geq 0\) hay \(x \geq -1\). - Điều kiện để \(\log_{\frac{1}{2}}(3-x)\) có nghĩa là \(3 - x > 0\) hay \(x < 3\). - Điều kiện để \(\log_8(x+3)^2\) có nghĩa là \((x+3)^2 > 0\) hay \(x \neq -3\). Tổng hợp các điều kiện trên, ta có: \[ -1 \leq x < 3 \] Bước 2: Chuyển đổi cơ số của các logarit - Ta biết rằng \(\log_{\sqrt{2}}\sqrt{x+1} = \frac{\log_2\sqrt{x+1}}{\log_2\sqrt{2}} = \frac{\log_2(x+1)^{1/2}}{\log_2 2^{1/2}} = \frac{\frac{1}{2}\log_2(x+1)}{\frac{1}{2}\log_2 2} = \log_2(x+1)\). - Ta biết rằng \(\log_{\frac{1}{2}}(3-x) = \frac{\log_2(3-x)}{\log_2\frac{1}{2}} = \frac{\log_2(3-x)}{\log_2 2^{-1}} = \frac{\log_2(3-x)}{-1} = -\log_2(3-x)\). - Ta biết rằng \(\log_8(x+3)^2 = \frac{\log_2(x+3)^2}{\log_2 8} = \frac{\log_2(x+3)^2}{\log_2 2^3} = \frac{2\log_2(x+3)}{3} = \frac{2}{3}\log_2(x+3)\). Bước 3: Thay các biểu thức đã chuyển đổi vào bất phương trình Bất phương trình ban đầu trở thành: \[ \log_2(x+1) - (-\log_2(3-x)) - \frac{2}{3}\log_2(x+3) < 0 \] \[ \log_2(x+1) + \log_2(3-x) - \frac{2}{3}\log_2(x+3) < 0 \] Bước 4: Kết hợp các logarit Ta có: \[ \log_2((x+1)(3-x)) - \frac{2}{3}\log_2(x+3) < 0 \] \[ \log_2((x+1)(3-x)) < \frac{2}{3}\log_2(x+3) \] Bước 5: Giải bất phương trình Ta có: \[ \log_2((x+1)(3-x)) < \log_2((x+3)^{2/3}) \] \[ (x+1)(3-x) < (x+3)^{2/3} \] Bước 6: Kiểm tra nghiệm trong khoảng \([-1, 3)\) - Ta thử \(x = 0\): \[ (0+1)(3-0) = 3 \] \[ (0+3)^{2/3} = 3^{2/3} \approx 2.08 \] \[ 3 > 2.08 \] (không thỏa mãn) - Ta thử \(x = 1\): \[ (1+1)(3-1) = 4 \] \[ (1+3)^{2/3} = 4^{2/3} \approx 2.52 \] \[ 4 > 2.52 \] (không thỏa mãn) - Ta thử \(x = 2\): \[ (2+1)(3-2) = 3 \] \[ (2+3)^{2/3} = 5^{2/3} \approx 2.92 \] \[ 3 < 2.92 \] (thỏa mãn) Vậy nghiệm của bất phương trình là: \[ \boxed{(-1, 2)} \]