Câu 1 nhé. Câu 1. (3,0 điểm) Cho dãy số thực $(u_n)$ xác định bởi $u_1=\frac13;u_{n+1}=\frac{3u_n}{2+3u^3_n}$ với mọi,$n\in\mathbb{N}*$ Chứng minh dãy $(u_n)$ có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó.

Question

Accepted Answer

Câu 1: Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức $ A = x^2 - 4x + 5 $. Bước 1: Xác định dạng của biểu thức. Biểu thức $ A = x^2 - 4x + 5 $ là một đa thức bậc hai. Bước 2: Tìm đỉnh của parabol. Biểu thức $ A = x^2 - 4x + 5 $ có dạng tổng quát $ ax^2 + bx + c $ với $ a = 1 $, $ b = -4 $, và $ c = 5 $. Đỉnh của parabol này sẽ cho chúng ta GTNN hoặc GTLN của biểu thức. Bước 3: Tính tọa độ đỉnh của parabol. Tọa độ đỉnh của parabol $ ax^2 + bx + c $ là $ x = -\frac{b}{2a} $. Trong trường hợp này: $$ x = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2 $$ Bước 4: Thay giá trị $ x = 2 $ vào biểu thức để tìm GTNN. $$ A = (2)^2 - 4(2) + 5 = 4 - 8 + 5 = 1 $$ Bước 5: Kết luận. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $ A = x^2 - 4x + 5 $ là 1, đạt được khi $ x = 2 $. Do $ a = 1 > 0 $, biểu thức $ A $ không có giá trị lớn nhất vì nó mở lên phía trên. Đáp số: - Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $ A $ là 1, đạt được khi $ x = 2 $. - Biểu thức $ A $ không có giá trị lớn nhất. Câu 1: Ta sẽ chứng minh rằng dãy số $(u_n)$ tăng và bị chặn trên, từ đó suy ra dãy $(u_n)$ có giới hạn hữu hạn. Trước hết, ta chứng minh rằng $0 < u_n < 1$ với mọi $n \in \mathbb{N}^$. - Với $n = 1$, ta có $u_1 = \frac{1}{3}$, do đó $0 < u_1 < 1$. - Giả sử $0 < u_k < 1$ với $k$ nào đó. Ta sẽ chứng minh $0 < u_{k+1} < 1$. $$u_{k+1} = \frac{3u_k}{2 + 3u_k^3}$$ Do $0 < u_k < 1$, nên $0 < 3u_k < 3$ và $0 < 3u_k^3 < 3$. Suy ra $2 < 2 + 3u_k^3 < 5$. Do đó: $$0 < \frac{3u_k}{2 + 3u_k^3} < \frac{3u_k}{2} < \frac{3}{2} < 1$$ Vậy $0 < u_{k+1} < 1$. Theo nguyên lý quy nạp toán học, ta có $0 < u_n < 1$ với mọi $n \in \mathbb{N}^$. Tiếp theo, ta chứng minh rằng dãy $(u_n)$ tăng. $$u_{n+1} - u_n = \frac{3u_n}{2 + 3u_n^3} - u_n = \frac{3u_n - u_n(2 + 3u_n^3)}{2 + 3u_n^3} = \frac{u_n(1 - 3u_n^3)}{2 + 3u_n^3}$$ Do $0 < u_n < 1$, nên $1 - 3u_n^3 > 0$. Do đó $u_{n+1} - u_n > 0$, tức là $u_{n+1} > u_n$. Vậy dãy $(u_n)$ tăng và bị chặn trên, nên dãy $(u_n)$ có giới hạn hữu hạn. Gọi giới hạn đó là $L$. Ta có: $$L = \lim_{n \to \infty} u_{n+1} = \lim_{n \to \infty} \frac{3u_n}{2 + 3u_n^3} = \frac{3L}{2 + 3L^3}$$ Giải phương trình $\frac{3L}{2 + 3L^3} = L$, ta được $L = 0$ hoặc $L = 1$. Do dãy $(u_n)$ tăng và bị chặn trên, nên $L > 0$. Vậy $L = 1$. Đáp số: Giới hạn của dãy $(u_n)$ là 1.