Tính tổng các giá trị m.

Câu 34: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ làm theo các bước sau: 1. Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ) cho các phương trình. 2. Biến đổi các phương trình về dạng dễ dàng hơn. 3. Xác định các giá trị của tham số \( m \) sao cho tồn tại duy nhất cặp \((x; y)\) thỏa mãn cả hai phương trình. 4. Tính tổng các giá trị của \( m \). Bước 1: Biến đổi các phương trình Phương trình đầu tiên: \[ x^2 + y^2 - 6x - 2y + 3 = 0 \] Chúng ta sẽ hoàn chỉnh bình phương: \[ (x^2 - 6x) + (y^2 - 2y) + 3 = 0 \] \[ (x - 3)^2 - 9 + (y - 1)^2 - 1 + 3 = 0 \] \[ (x - 3)^2 + (y - 1)^2 - 7 = 0 \] \[ (x - 3)^2 + (y - 1)^2 = 7 \] Phương trình thứ hai: \[ x^2 + y^2 + 4x - 4y + 8 - m = 0 \] Chúng ta cũng hoàn chỉnh bình phương: \[ (x^2 + 4x) + (y^2 - 4y) + 8 - m = 0 \] \[ (x + 2)^2 - 4 + (y - 2)^2 - 4 + 8 - m = 0 \] \[ (x + 2)^2 + (y - 2)^2 - m = 0 \] \[ (x + 2)^2 + (y - 2)^2 = m \] Bước 2: Xác định các giá trị của \( m \) Để tồn tại duy nhất cặp \((x; y)\) thỏa mãn cả hai phương trình, hai đường tròn phải tiếp xúc nhau hoặc trùng nhau. Trường hợp 1: Hai đường tròn tiếp xúc nhau Khoảng cách giữa tâm của hai đường tròn là: \[ d = \sqrt{(3 - (-2))^2 + (1 - 2)^2} = \sqrt{5^2 + (-1)^2} = \sqrt{26} \] Điều kiện để hai đường tròn tiếp xúc nhau là: \[ \sqrt{26} = \sqrt{7} + \sqrt{m} \] \[ 26 = 7 + m \] \[ m = 19 \] Trường hợp 2: Hai đường tròn trùng nhau Điều kiện để hai đường tròn trùng nhau là: \[ \sqrt{26} = |\sqrt{7} - \sqrt{m}| \] Có hai trường hợp con: 1. \( \sqrt{26} = \sqrt{7} - \sqrt{m} \) \[ 26 = 7 - m \] \[ m = -19 \] (loại vì \( m \) phải là số thực dương) 2. \( \sqrt{26} = \sqrt{m} - \sqrt{7} \) \[ 26 = m - 7 \] \[ m = 33 \] Bước 3: Tính tổng các giá trị của \( m \) Các giá trị của \( m \) là \( 19 \) và \( 33 \). Tổng các giá trị của \( m \): \[ 19 + 33 = 52 \] Vậy, tổng các giá trị của \( m \) thuộc \( S \) là: \[ \boxed{52} \]