Tính tỉ số.

Câu 32: Để giải bài toán này, ta cần xác định vị trí của điểm O trên đoạn thẳng \( CC' \) và tính tỉ số \( \frac{CO}{CC'} \). Bước 1: Xác định vị trí các điểm trong hình hộp - Gọi \( A(0,0,0) \), \( B(a,0,0) \), \( C(a,b,0) \), \( D(0,b,0) \). - \( A'(0,0,c) \), \( B'(a,0,c) \), \( C'(a,b,c) \), \( D'(0,b,c) \). Bước 2: Xác định tọa độ các điểm M, I, J, N, E - \( M \) là trung điểm của \( AD \), nên \( M(0,\frac{b}{2},0) \). - \( I \) là trung điểm của \( BD' \), nên \( I(\frac{a}{2},0,\frac{c}{2}) \). - \( J \) là trung điểm của \( DC' \), nên \( J(\frac{a}{2},b,\frac{c}{2}) \). - \( N \) là trung điểm của \( BI \), nên \( N(\frac{3a}{4},0,\frac{c}{4}) \). - \( E \) là trung điểm của \( DJ \), nên \( E(\frac{a}{4},b,\frac{c}{4}) \). Bước 3: Phương trình mặt phẳng (MNE) Ta cần tìm phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm \( M, N, E \). - Vector \( \overrightarrow{MN} = \left(\frac{3a}{4} - 0, 0 - \frac{b}{2}, \frac{c}{4} - 0\right) = \left(\frac{3a}{4}, -\frac{b}{2}, \frac{c}{4}\right) \). - Vector \( \overrightarrow{ME} = \left(\frac{a}{4} - 0, b - \frac{b}{2}, \frac{c}{4} - 0\right) = \left(\frac{a}{4}, \frac{b}{2}, \frac{c}{4}\right) \). Tích có hướng của hai vector này là vector pháp tuyến của mặt phẳng: \[ \overrightarrow{n} = \overrightarrow{MN} \times \overrightarrow{ME} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{3a}{4} & -\frac{b}{2} & \frac{c}{4} \\ \frac{a}{4} & \frac{b}{2} & \frac{c}{4} \end{vmatrix} \] Tính toán: - Hệ số \( x \): \( -\frac{b}{2} \cdot \frac{c}{4} - \frac{b}{2} \cdot \frac{c}{4} = -\frac{bc}{4} \). - Hệ số \( y \): \( \frac{3a}{4} \cdot \frac{c}{4} - \frac{a}{4} \cdot \frac{c}{4} = \frac{ac}{8} \). - Hệ số \( z \): \( \frac{3a}{4} \cdot \frac{b}{2} - \frac{a}{4} \cdot \frac{b}{2} = \frac{ab}{4} \). Phương trình mặt phẳng (MNE) là: \[ -\frac{bc}{4}x + \frac{ac}{8}y + \frac{ab}{4}z = 0 \] Bước 4: Tìm giao điểm O của mặt phẳng (MNE) với đường thẳng CC' Đường thẳng \( CC' \) có phương trình tham số: \[ x = a, \quad y = b, \quad z = t, \quad t \in [0, c] \] Thay vào phương trình mặt phẳng: \[ -\frac{bc}{4}a + \frac{ac}{8}b + \frac{ab}{4}t = 0 \] Giải phương trình: \[ \frac{ab}{4}t = \frac{bc}{4}a - \frac{ac}{8}b \] \[ t = \frac{bc}{4a} - \frac{ac}{8b} \] Bước 5: Tính tỉ số \(\frac{CO}{CC'}\) Vì \( CC' \) có độ dài \( c \), nên: \[ \frac{CO}{CC'} = \frac{t}{c} = \frac{\frac{bc}{4a} - \frac{ac}{8b}}{c} \] Tính toán cụ thể: \[ \frac{CO}{CC'} = \frac{b}{4a} - \frac{a}{8b} \] Kết luận: Tỉ số \(\frac{CO}{CC'}\) là \(\frac{b}{4a} - \frac{a}{8b}\).