Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi... Câu 22. Cho hàm số $f(x)=\frac13x^3+mx^2-mx-1,m\in\mathbb{R}.$,a) Tìm m để hàm số $f(x)$ đồng biến trên $\mathbb{R}.$,b) Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số $f(x)$ có hai điểm cực trị $x_1,x_2$ thỏa mãn $|x_1-x_2|\leq10?$

Question

Accepted Answer

Câu 22:
a) Ta có $ f&#x27;(x) = x^2 + 2mx - m $. Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi $ f&#x27;(x) \geq 0 $ với mọi $ x \in \mathbb{R} $.

Để $ f&#x27;(x) \geq 0 $ với mọi $ x \in \mathbb{R} $, ta cần $ x^2 + 2mx - m \geq 0 $ với mọi $ x \in \mathbb{R} $.

Điều này xảy ra khi và chỉ khi $ \Delta&#x27; \leq 0 $, trong đó $ \Delta&#x27; $ là biệt thức của phương trình bậc hai $ x^2 + 2mx - m = 0 $.

Ta có:
$$ \Delta&#x27; = (2m)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-m) = 4m^2 + 4m $$

Yêu cầu $ \Delta&#x27; \leq 0 $:
$$ 4m^2 + 4m \leq 0 $$
$$ 4m(m + 1) \leq 0 $$

Giải bất phương trình này:
$$ 4m(m + 1) \leq 0 $$
$$ m(m + 1) \leq 0 $$

Bảng xét dấu:
$$
\begin{array}{c|ccc}
m & -\infty & -1 & 0 & +\infty \
\hline
m & - & - & 0 & + \
m + 1 & - & 0 & + & + \
m(m + 1) & + & 0 & - & +
\end{array}
$$

Từ bảng xét dấu, ta thấy $ m(m + 1) \leq 0 $ khi $ -1 \leq m \leq 0 $.

Vậy $ m \in [-1, 0] $.

b) Hàm số $ f(x) $ có hai điểm cực trị $ x_1 $ và $ x_2 $ khi và chỉ khi $ f&#x27;(x) = 0 $ có hai nghiệm thực phân biệt.

Phương trình $ f&#x27;(x) = 0 $ là:
$$ x^2 + 2mx - m = 0 $$

Để phương trình này có hai nghiệm thực phân biệt, ta cần $ \Delta&#x27; > 0 $:
$$ 4m^2 + 4m > 0 $$
$$ 4m(m + 1) > 0 $$

Giải bất phương trình này:
$$ 4m(m + 1) > 0 $$
$$ m(m + 1) > 0 $$

Bảng xét dấu:
$$
\begin{array}{c|ccc}
m & -\infty & -1 & 0 & +\infty \
\hline
m & - & - & 0 & + \
m + 1 & - & 0 & + & + \
m(m + 1) & + & 0 & - & +
\end{array}
$$

Từ bảng xét dấu, ta thấy $ m(m + 1) > 0 $ khi $ m < -1 $ hoặc $ m > 0 $.

Vậy $ m \in (-\infty, -1) \cup (0, +\infty) $.

Tiếp theo, ta cần kiểm tra điều kiện $ |x_1 - x_2| \leq 10 $.

Các nghiệm của phương trình $ x^2 + 2mx - m = 0 $ là:
$$ x_{1,2} = \frac{-2m \pm \sqrt{4m^2 + 4m}}{2} = -m \pm \sqrt{m^2 + m} $$

Hiệu giữa hai nghiệm:
$$ |x_1 - x_2| = \left| -m + \sqrt{m^2 + m} - (-m - \sqrt{m^2 + m}) \right| = \left| 2\sqrt{m^2 + m} \right| = 2\sqrt{m^2 + m} $$

Yêu cầu $ |x_1 - x_2| \leq 10 $:
$$ 2\sqrt{m^2 + m} \leq 10 $$
$$ \sqrt{m^2 + m} \leq 5 $$
$$ m^2 + m \leq 25 $$
$$ m^2 + m - 25 \leq 0 $$

Giải bất phương trình bậc hai:
$$ m^2 + m - 25 \leq 0 $$

Biệt thức:
$$ \Delta = 1 + 100 = 101 $$

Nghiệm của phương trình $ m^2 + m - 25 = 0 $ là:
$$ m = \frac{-1 \pm \sqrt{101}}{2} $$

Do đó, $ m \in \left[ \frac{-1 - \sqrt{101}}{2}, \frac{-1 + \sqrt{101}}{2} \right] $.

Kết hợp với điều kiện $ m \in (-\infty, -1) \cup (0, +\infty) $, ta có:
$$ m \in \left( -\infty, -1 \right) \cap \left[ \frac{-1 - \sqrt{101}}{2}, \frac{-1 + \sqrt{101}}{2} \right] \cup \left( 0, +\infty \right) \cap \left[ \frac{-1 - \sqrt{101}}{2}, \frac{-1 + \sqrt{101}}{2} \right] $$

Số nguyên $ m $ trong khoảng này là:
$$ m \in \left[ \frac{-1 - \sqrt{101}}{2}, -1 \right) \cup \left( 0, \frac{-1 + \sqrt{101}}{2} \right] $$

Do $ \frac{-1 - \sqrt{101}}{2} \approx -5.5 $ và $ \frac{-1 + \sqrt{101}}{2} \approx 4.5 $, nên số nguyên $ m $ là:
$$ m \in \{-5, -4, -3, -2, 1, 2, 3, 4\} $$

Vậy có 8 số nguyên $ m $ thỏa mãn điều kiện đề bài.