Dựa vào đề bài và bảng chọn đáp án, ta phân tích từng yêu cầu như sau:
Đề bài:
Cho mặt phẳng (P):2x−y+x−2=0⇒3x−y−2=0(P): 2x - y + x - 2 = 0 \Rightarrow 3x - y - 2 = 0 (chắc có lỗi đánh máy, ta sẽ xử lý đúng sau).
Các điểm:
- A(1;−1;0)A(1; -1; 0)
- B(2;0;1)B(2; 0; 1)
- C(1;2;−1)C(1; 2; -1)
Ta sẽ đi lần lượt từng câu:
1. Phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng BC
- Vector BC: BC⃗=C⃗−B⃗=(−1,2,−2)\vec{BC} = \vec{C} - \vec{B} = (-1, 2, -2)
- Mặt phẳng vuông góc với BC ⇒ vector pháp tuyến n song song với BC⃗\vec{BC}
- Gọi phương trình mặt phẳng cần tìm là:
- −x+2y−2z+D=0-x + 2y - 2z + D = 0 (lấy vector pháp tuyến là BC⃗\vec{BC})
- Thay điểm A(1,−1,0)A(1, -1, 0) vào ta có:
- −1+(−2)+D=0⇒D=3-1 + (-2) + D = 0 \Rightarrow D = 3
- Phương trình:
- −x+2y−2z+3=0⇒x−2y+2z−3=0-x + 2y - 2z + 3 = 0 \Rightarrow x - 2y + 2z - 3 = 0
Đáp án là: B
2. Phương trình mặt phẳng đi qua A và song song với mặt phẳng (P)
- Mặt phẳng song song ⇒ cùng vector pháp tuyến.
- Giả sử (P):2x−y+x−2=0⇒3x−y−2=0(P): 2x - y + x - 2 = 0 \Rightarrow 3x - y - 2 = 0. Vậy pháp tuyến n⃗=(3,−1,0)\vec{n} = (3, -1, 0)
- Gọi phương trình mặt phẳng cần tìm:
- 3x−y+D=03x - y + D = 0, thay A(1,−1,0)A(1, -1, 0):
- 3(1)+1+D=0⇒D=−43(1) + 1 + D = 0 \Rightarrow D = -4
- Phương trình: 3x−y−4=03x - y - 4 = 0
Không khớp với các đáp án trong bảng.
Nhưng nếu mặt phẳng (P) là: 2x−y+x−2=0⇒3x−y+z−2=02x - y + x - 2 = 0 \Rightarrow 3x - y + z - 2 = 0?
→ Vậy pháp tuyến là (3,−1,1)(3, -1, 1), ta xét lại:
- Dạng tổng quát: 3x−y+z+D=03x - y + z + D = 0
- Thay A vào: 3(1)+1+0+D=0⇒D=−43(1) + 1 + 0 + D = 0 \Rightarrow D = -4
- Phương trình: 3x−y+z−4=03x - y + z - 4 = 0 → vẫn không khớp.
Tuy nhiên, mặt phẳng (P) in đề là 2x - y + x - 2 = 0, rút gọn là 3x−y−2=03x - y - 2 = 0, nghĩa là không có z ⇒ mặt phẳng song song cũng không có z.
⇒ Vector pháp tuyến: (3,−1,0)(3, -1, 0)
- Mặt phẳng cần tìm có dạng: 3x−y+D=03x - y + D = 0
- Thay A vào: 3(1)+1+D=0⇒D=−43(1) + 1 + D = 0 \Rightarrow D = -4
- ⇒ 3x−y−4=03x - y - 4 = 0
không có đáp án trong bảng phù hợp ⇒ có thể lỗi in đề.
3. Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C
- Tìm 2 vector:
- AB⃗=(1,1,1)\vec{AB} = (1, 1, 1), AC⃗=(0,3,−1)\vec{AC} = (0, 3, -1)
- Vector pháp tuyến là tích có hướng của AB⃗\vec{AB} và AC⃗\vec{AC}:
n⃗=AB⃗×AC⃗=∣i⃗j⃗k⃗11103−1∣=(−4,1,3)\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = = (-4, 1, 3)⇒ Phương trình mặt phẳng có dạng:
−4(x−1)+1(y+1)+3(z−0)=0-4(x - 1) + 1(y + 1) + 3(z - 0) = 0
⇒ −4x+4+y+1+3z=0⇒−4x+y+3z+5=0-4x + 4 + y + 1 + 3z = 0 \Rightarrow -4x + y + 3z + 5 = 0
⇒ 4x−y−3z−5=04x - y - 3z - 5 = 0
Đáp án là: C
4. Mặt phẳng qua hai điểm A, B và vuông góc với (P)
- Mặt phẳng vuông góc với (P) ⇒ vector pháp tuyến vuông góc với n⃗P=(3,−1,0)\vec{n}_P = (3, -1, 0)
- Vector AB⃗=(1,1,1)\vec{AB} = (1, 1, 1)
- Để tạo vector pháp tuyến cho mặt phẳng cần tìm:
- Lấy tích có hướng của AB⃗\vec{AB} và n⃗P\vec{n}_P:
- n⃗=AB⃗×n⃗P=∣i⃗j⃗k⃗1113−10∣=(1,3,−4)\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{n}_P = = (1, 3, -4)Mặt phẳng có dạng: x+3y−4z+D=0x + 3y - 4z + D = 0
- Thay A vào: 1+3(−1)−4(0)+D=0⇒D=21 + 3(-1) - 4(0) + D = 0 \Rightarrow D = 2
- ⇒ x+3y−4z+2=0x + 3y - 4z + 2 = 0
Không có đáp án khớp. Có thể lại là lỗi in.( mình không rõ ạ )
Tổng kết đáp án:
Câu hỏi Đáp án đúng 1 B 2 Không khớp (có thể sai đề) 3 C 4 Không khớp (có thể sai đề)