Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi... Cho $\Delta ABC$ có $AB

Question

Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi... Cho $\Delta ABC$ có $AB<AC,$ vẽ đường phân giác AD. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho $AE=AB.$,1) Chứng minh: $BD=DE$,2) Gọi K là giao điểm của AB và ED. Chứng minh rằng: $\Delta DBK=\Delta DEC.$,$3)~\Delta ABC$ cần có thêm điều kiện gì để D cách đều ba cạnh của $\Delta AKC.$

Accepted Answer

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước như sau:

1) Chứng minh: $BD = DE$

- Ta có $AD$ là đường phân giác của $\angle BAC$, do đó:
  $$
  \frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}
  $$
- Theo giả thiết, $AE = AB$, do đó $E$ là điểm trên $AC$ sao cho $AE = AB$.
- Vì $AE = AB$, ta có:
  $$
  \frac{AE}{EC} = \frac{AB}{AC}
  $$
- Từ hai tỉ lệ trên, ta suy ra:
  $$
  \frac{BD}{DC} = \frac{AE}{EC}
  $$
- Do đó, theo định lý đường phân giác, ta có $BD = DE$.

2) Chứng minh $\Delta DBK = \Delta DEC$

- Ta đã có $BD = DE$ từ phần 1.
- Xét hai tam giác $\Delta DBK$ và $\Delta DEC$:
  - $BD = DE$ (chứng minh ở trên)
  - $\angle DBK = \angle DEC$ (vì $K$ và $E$ nằm trên cùng một đường thẳng $ED$)
  - $BK = EC$ (vì $K$ là giao điểm của $AB$ và $ED$, và $E$ là điểm trên $AC$ sao cho $AE = AB$)
- Do đó, theo trường hợp cạnh-góc-cạnh (SAS), ta có $\Delta DBK = \Delta DEC$.

3) Điều kiện để $D$ cách đều ba cạnh của $\Delta AKC$

- Để điểm $D$ cách đều ba cạnh của $\Delta AKC$, $D$ phải là tâm đường tròn nội tiếp của $\Delta AKC$.
- Điều này xảy ra khi $D$ là giao điểm của ba đường phân giác của $\Delta AKC$.
- Do đó, điều kiện cần thiết là $D$ phải nằm trên đường phân giác của góc $\angle AKC$.
- Vì $D$ đã nằm trên đường phân giác của $\angle BAC$, để $D$ cũng nằm trên đường phân giác của $\angle AKC$, cần có thêm điều kiện rằng $\angle BAC = \angle AKC$.

Vậy, điều kiện cần thêm là $\angle BAC = \angle AKC$.