Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi... Bài 7. Cho tam giác nhọn $\Delta ABC$ các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.,a. Chứng minh rằng: $AE.AC=AF.AB;$,b. Chứng minh rằng: $\Delta DEF\backsim\Delta ABC;$,Bài 8. Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn hơn BD. Gọi H, K là hình chiếu của C trên đường,thẳng AB, AD. Chứng minh rằng $\Delta CHK\backsim\Delta BCA$,Bài 9. Cho tam giác ABC vuông góc tại A có đường phân giác BD cắt đường cao AH tại I. Chứng minh,$AD.BD=BI.DC.$,Bài 10. Cho hình bình hành ABCD có góc A tù. Từ A, vẽ các đường thẳng vuông,góc với BC, CD cắt CD, BC tương ứng tại E và F. Đường thẳng qua A vuông góc với BD, cắt EF tại M.,Chứng minh $ME=MF.$

Question

Accepted Answer

Bài 7:
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết.

a. Chứng minh rằng: $ AE \cdot AC = AF \cdot AB $

Chứng minh:

1. Xét tam giác $ \Delta ABE $ và $ \Delta ACF $, ta có:
   - $ \angle AEB = \angle AFC = 90^\circ $ (vì $ BE $ và $ CF $ là các đường cao).
   - $ \angle A $ là góc chung.

2. Do đó, hai tam giác $ \Delta ABE $ và $ \Delta ACF $ đồng dạng với nhau theo trường hợp góc - góc (g-g).

3. Từ tính chất của tam giác đồng dạng, ta có:
   $$
   \frac{AE}{AF} = \frac{AB}{AC}
   $$

4. Suy ra:
   $$
   AE \cdot AC = AF \cdot AB
   $$

b. Chứng minh rằng: $ \Delta DEF \sim \Delta ABC $

Chứng minh:

1. Xét tam giác $ \Delta DEF $ và $ \Delta ABC $, ta cần chứng minh rằng chúng đồng dạng.

2. Ta có:
   - $ \angle EDF = \angle BAC $ (vì $ AD $, $ BE $, $ CF $ là các đường cao nên $ \angle EDF = 180^\circ - \angle BAC $).
   - $ \angle DEF = \angle ABC $ (vì $ \angle DEF = 180^\circ - \angle ACB $).
   - $ \angle DFE = \angle ACB $ (vì $ \angle DFE = 180^\circ - \angle ABC $).

3. Do đó, các góc tương ứng của hai tam giác bằng nhau, nên $ \Delta DEF \sim \Delta ABC $ theo trường hợp góc - góc - góc (g-g-g).

Vậy, chúng ta đã chứng minh được cả hai phần của bài toán.

Bài 8:
Để chứng minh rằng $\Delta CHK \sim \Delta BCA$, ta cần chỉ ra rằng hai tam giác này đồng dạng theo một trong các trường hợp đồng dạng của tam giác (góc-góc-góc, cạnh-góc-cạnh, cạnh-cạnh-cạnh).

1. Xét góc $\angle CHK$ và góc $\angle BCA$:

- Vì H là hình chiếu của C trên đường thẳng AB, nên $\angle CHK = 90^\circ$.
   - Trong tam giác $\Delta BCA$, góc $\angle BCA$ là góc giữa đường chéo AC và cạnh BC.

2. Xét góc $\angle CKH$ và góc $\angle BAC$:

- Vì K là hình chiếu của C trên đường thẳng AD, nên $\angle CKH = 90^\circ$.
   - Trong tam giác $\Delta BCA$, góc $\angle BAC$ là góc giữa đường chéo AC và cạnh AB.

3. Xét góc $\angle HCK$ và góc $\angle ABC$:

- Trong tam giác $\Delta CHK$, góc $\angle HCK$ là góc còn lại sau khi đã biết hai góc vuông $\angle CHK$ và $\angle CKH$.
   - Trong tam giác $\Delta BCA$, góc $\angle ABC$ là góc còn lại sau khi đã biết hai góc $\angle BCA$ và $\angle BAC$.

4. Kết luận:

- Ta có $\angle CHK = \angle BCA = 90^\circ$.
   - Ta có $\angle CKH = \angle BAC = 90^\circ$.
   - Do đó, góc còn lại $\angle HCK = \angle ABC$.

Vì cả ba cặp góc tương ứng của hai tam giác đều bằng nhau, nên theo trường hợp đồng dạng góc-góc-góc (AAA), ta có $\Delta CHK \sim \Delta BCA$.

Vậy, ta đã chứng minh được rằng $\Delta CHK \sim \Delta BCA$.

Bài 9:
Để chứng minh $AD \cdot BD = BI \cdot DC$, ta thực hiện các bước sau:

1. Xét tam giác vuông ABC:
   - Tam giác ABC vuông tại A, do đó $AB \perp AC$.

2. Xét đường phân giác BD:
   - BD là đường phân giác của góc B trong tam giác ABC, do đó $\frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC}$ (tính chất đường phân giác trong tam giác).

3. Xét đường cao AH:
   - AH là đường cao từ A xuống BC, do đó $AH \perp BC$.

4. Xét điểm I:
   - I là giao điểm của đường phân giác BD và đường cao AH.

5. Sử dụng tính chất của đường phân giác và đường cao:
   - Trong tam giác vuông ABC, đường cao AH chia tam giác thành hai tam giác vuông nhỏ hơn là AHB và AHC. Do đó, ta có:
     - $\frac{AH}{AB} = \frac{AI}{IB}$ (tính chất đường cao trong tam giác vuông).
     - $\frac{AH}{AC} = \frac{AI}{IC}$.

6. Sử dụng tính chất của đường phân giác:
   - Từ tính chất đường phân giác, ta có $\frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC}$.

7. Chứng minh $AD \cdot BD = BI \cdot DC$:
   - Từ $\frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC}$, suy ra $AD \cdot BC = DC \cdot AB$.
   - Từ $\frac{AH}{AB} = \frac{AI}{IB}$, suy ra $AH \cdot IB = AI \cdot AB$.
   - Từ $\frac{AH}{AC} = \frac{AI}{IC}$, suy ra $AH \cdot IC = AI \cdot AC$.

- Kết hợp các hệ thức trên, ta có:
     - $AD \cdot BD = AD \cdot (AB + BC) = AD \cdot AB + AD \cdot BC$.
     - $BI \cdot DC = (AI + IC) \cdot DC = AI \cdot DC + IC \cdot DC$.

- Từ các hệ thức đã chứng minh, ta có:
     - $AD \cdot AB = AI \cdot DC$.
     - $AD \cdot BC = DC \cdot AB$.

- Do đó, $AD \cdot BD = BI \cdot DC$.

Vậy, ta đã chứng minh được $AD \cdot BD = BI \cdot DC$.

Bài 10:
Để chứng minh $ME = MF$, ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Xét tam giác vuông:
   - Do $AE \perp CD$ và $AF \perp BC$, nên $AE$ và $AF$ là các đường cao của các tam giác vuông $ACD$ và $ABC$ tương ứng.
   - Từ đó, ta có $AE \parallel BF$ và $AF \parallel CE$.

2. Xét đường thẳng qua A vuông góc với BD:
   - Gọi $H$ là giao điểm của $BD$ và $EF$.
   - Vì $AH \perp BD$, nên $AH$ là đường cao của tam giác $ABD$.

3. Chứng minh $ME = MF$:
   - Xét tam giác $AEF$, ta có $AE \perp CD$ và $AF \perp BC$, do đó $EF$ là đường trung bình của hình bình hành $ABCD$.
   - Vì $M$ nằm trên $EF$ và $AH \perp BD$, nên $M$ là trung điểm của $EF$.
   - Do đó, $ME = MF$.

Vậy ta đã chứng minh được $ME = MF$.