Tìm các giá trị nguyên của $x$ sao cho $x^2 + x + 1$ chia hết cho $x + 2$.

Để $x^2 + x + 1$ chia hết cho $x + 2$, ta thực hiện phép chia đa thức $x^2 + x + 1$ cho $x + 2$. Ta có: \[ x^2 + x + 1 = (x + 2)(x - 1) + 3 \] Như vậy, dư của phép chia là 3. Để $x^2 + x + 1$ chia hết cho $x + 2$, ta cần có: \[ 3 \text{ chia hết cho } x + 2 \] Do đó, $x + 2$ phải là một ước của 3. Các ước của 3 là: $-3, -1, 1, 3$. Ta xét từng trường hợp: 1. $x + 2 = -3 \Rightarrow x = -5$ 2. $x + 2 = -1 \Rightarrow x = -3$ 3. $x + 2 = 1 \Rightarrow x = -1$ 4. $x + 2 = 3 \Rightarrow x = 1$ Vậy các giá trị nguyên của $x$ thỏa mãn điều kiện là: $-5, -3, -1, 1$.