Cho tôi đáp án Câu 2: (1,5 điểm - 0,5 điểm/ý) Cho $\cot x=2.$ Tính giá trị các biểu thức sau:,$a.~B_1=\frac{2\sin x+3\cos x}{3\sin x-2\cos x}$ $b.~B_2=\frac{2\cos^2x-\sin^2x}{\sin^2x+2\cos^2x}$ $c.~B_3=\frac2{\cos^2x-\sin x\cos x}$,Câu 3: (0,5 điểm) Cho góc iz thỏa mãn $ an\alpha=2.$ Tính $P=\frac{2\sin^2\alpha+3\sin\alpha.\cos\alpha+4\cos^2\alpha}{5\sin^2\alpha+6\cos^2\alpha}.$,Câu 4: (1,5 điểm - 0,5 điểm/ý) Đơn giản các biểu thức sau:,$a.~P=\frac{1+\sin^2\alpha}{1-\sin^2\alpha}.$ $b.~P= an\alpha(\frac{1+\cos^2\alpha}{\sin\alpha}-\sin\alpha).$ $c.~P=\frac{\cot^2x-\cos^2x}{\cot^2x}+\frac{\sin x\cos x}{\cot x}.$,Câu 5: (0,5 điểm - 0,25 điểm/ý) Chứng minh rằng các biểu thức sau không phụ thuộc a :,$a.~B=\sin^4\alpha+\cos^2\alpha\sin^2\alpha+\cos^2\alpha.$,$b.~C=\cos^2\alpha\cot^2\alpha+3\cos^2\alpha-\cot^2\alpha+2\sin^2\alpha$,Câu 6: (0,5 điểm) Độ dài của ngày từ lúc Mặt Trời mọc đến lúc Mặt Trời lặn ở một thành phố X trong ngày thứ t của,năm được tính xấp xỉ bởi công thức $d(t)=4\sin[\frac{2\pi}{365}(t-80)]+12(t\in\mathbb{Z}$ và $1\leq t\leq365).$ Thành phố X vào ngày,31 tháng 1 có bao nhiêu giờ có Mặt Trời chiếu sáng? (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười),Câu 7: (0,5 điểm) Thanh OM quay ngược chiều kim đồng hồ quanh gốc O của nó trên một mặt phẳng thẳng đứng và,in bóng vuông góc xuống mặt đất như hình bên. Vị trí ban đầu của thanh là OA. Hỏi độ dài bóng O'M của OM khi,thanh quay được $\frac{60}{13}$ vòng là bao nhiêu, biết độ dài thanh OM là 10 cm ? Kết quả làm tròn đến hàng phần mười.

Question

Cho tôi đáp án Câu 2: (1,5 điểm - 0,5 điểm/ý) Cho $\cot x=2.$ Tính giá trị các biểu thức sau:,$a.~B_1=\frac{2\sin x+3\cos x}{3\sin x-2\cos x}$ $b.~B_2=\frac{2\cos^2x-\sin^2x}{\sin^2x+2\cos^2x}$ $c.~B_3=\frac2{\cos^2x-\sin x\cos x}$,Câu 3: (0,5 điểm) Cho góc iz thỏa mãn $	an\alpha=2.$ Tính $P=\frac{2\sin^2\alpha+3\sin\alpha.\cos\alpha+4\cos^2\alpha}{5\sin^2\alpha+6\cos^2\alpha}.$,Câu 4: (1,5 điểm - 0,5 điểm/ý) Đơn giản các biểu thức sau:,$a.~P=\frac{1+\sin^2\alpha}{1-\sin^2\alpha}.$ $b.~P=	an\alpha(\frac{1+\cos^2\alpha}{\sin\alpha}-\sin\alpha).$ $c.~P=\frac{\cot^2x-\cos^2x}{\cot^2x}+\frac{\sin x\cos x}{\cot x}.$,Câu 5: (0,5 điểm - 0,25 điểm/ý) Chứng minh rằng các biểu thức sau không phụ thuộc a :,$a.~B=\sin^4\alpha+\cos^2\alpha\sin^2\alpha+\cos^2\alpha.$,$b.~C=\cos^2\alpha\cot^2\alpha+3\cos^2\alpha-\cot^2\alpha+2\sin^2\alpha$,Câu 6: (0,5 điểm) Độ dài của ngày từ lúc Mặt Trời mọc đến lúc Mặt Trời lặn ở một thành phố X trong ngày thứ t của,năm được tính xấp xỉ bởi công thức $d(t)=4\sin[\frac{2\pi}{365}(t-80)]+12(t\in\mathbb{Z}$ và $1\leq t\leq365).$ Thành phố X vào ngày,31 tháng 1 có bao nhiêu giờ có Mặt Trời chiếu sáng? (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười),Câu 7: (0,5 điểm) Thanh OM quay ngược chiều kim đồng hồ quanh gốc O của nó trên một mặt phẳng thẳng đứng và,in bóng vuông góc xuống mặt đất như hình bên. Vị trí ban đầu của thanh là OA. Hỏi độ dài bóng O&#x27;M của OM khi,thanh quay được $\frac{60}{13}$ vòng là bao nhiêu, biết độ dài thanh OM là 10 cm ? Kết quả làm tròn đến hàng phần mười.

Accepted Answer

Câu 2:
Câu a.
Ta có:
$$ B_1 = \frac{2\sin x + 3\cos x}{3\sin x - 2\cos x} $$

Chia cả tử số và mẫu số cho $\cos x$:
$$ B_1 = \frac{2\tan x + 3}{3\tan x - 2} $$

Do $\cot x = 2$ nên $\tan x = \frac{1}{2}$. Thay vào biểu thức trên:
$$ B_1 = \frac{2 \cdot \frac{1}{2} + 3}{3 \cdot \frac{1}{2} - 2} = \frac{1 + 3}{\frac{3}{2} - 2} = \frac{4}{-\frac{1}{2}} = -8 $$

Câu b.
Ta có:
$$ B_2 = \frac{2\cos^2 x - \sin^2 x}{\sin^2 x + 2\cos^2 x} $$

Chia cả tử số và mẫu số cho $\cos^2 x$:
$$ B_2 = \frac{2 - \tan^2 x}{\tan^2 x + 2} $$

Do $\cot x = 2$ nên $\tan x = \frac{1}{2}$. Thay vào biểu thức trên:
$$ B_2 = \frac{2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2}{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + 2} = \frac{2 - \frac{1}{4}}{\frac{1}{4} + 2} = \frac{\frac{8}{4} - \frac{1}{4}}{\frac{1}{4} + \frac{8}{4}} = \frac{\frac{7}{4}}{\frac{9}{4}} = \frac{7}{9} $$

Câu c.
Ta có:
$$ B_3 = \frac{2}{\cos^2 x - \sin x \cos x} $$

Chia cả tử số và mẫu số cho $\cos^2 x$:
$$ B_3 = \frac{2}{1 - \tan x} $$

Do $\cot x = 2$ nên $\tan x = \frac{1}{2}$. Thay vào biểu thức trên:
$$ B_3 = \frac{2}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{2}{\frac{1}{2}} = 4 $$

Câu 3:
Để giải bài toán này, ta cần tính giá trị của biểu thức $ P $ với điều kiện $\tan\alpha = 2$.

Bước 1: Tìm $\sin\alpha$ và $\cos\alpha$

Vì $\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = 2$, ta có thể đặt $\sin\alpha = 2k$ và $\cos\alpha = k$ với $k > 0$.

Sử dụng đẳng thức lượng giác cơ bản $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, ta có:

$$
(2k)^2 + k^2 = 1 \implies 4k^2 + k^2 = 1 \implies 5k^2 = 1 \implies k^2 = \frac{1}{5} \implies k = \frac{1}{\sqrt{5}}
$$

Vậy:

$$
\sin\alpha = 2k = \frac{2}{\sqrt{5}}, \quad \cos\alpha = k = \frac{1}{\sqrt{5}}
$$

Bước 2: Tính giá trị của $P$

Thay $\sin\alpha$ và $\cos\alpha$ vào biểu thức $P$:

$$
P = \frac{2\sin^2\alpha + 3\sin\alpha\cos\alpha + 4\cos^2\alpha}{5\sin^2\alpha + 6\cos^2\alpha}
$$

Tính từng phần tử:

- $\sin^2\alpha = \left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)^2 = \frac{4}{5}$
- $\cos^2\alpha = \left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^2 = \frac{1}{5}$
- $\sin\alpha \cos\alpha = \frac{2}{\sqrt{5}} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{2}{5}$

Thay vào biểu thức:

$$
2\sin^2\alpha = 2 \cdot \frac{4}{5} = \frac{8}{5}
$$
$$
3\sin\alpha\cos\alpha = 3 \cdot \frac{2}{5} = \frac{6}{5}
$$
$$
4\cos^2\alpha = 4 \cdot \frac{1}{5} = \frac{4}{5}
$$

Tử số:

$$
2\sin^2\alpha + 3\sin\alpha\cos\alpha + 4\cos^2\alpha = \frac{8}{5} + \frac{6}{5} + \frac{4}{5} = \frac{18}{5}
$$

Mẫu số:

$$
5\sin^2\alpha = 5 \cdot \frac{4}{5} = 4
$$
$$
6\cos^2\alpha = 6 \cdot \frac{1}{5} = \frac{6}{5}
$$

Mẫu số:

$$
5\sin^2\alpha + 6\cos^2\alpha = 4 + \frac{6}{5} = \frac{20}{5} + \frac{6}{5} = \frac{26}{5}
$$

Vậy:

$$
P = \frac{\frac{18}{5}}{\frac{26}{5}} = \frac{18}{26} = \frac{9}{13}
$$

Kết luận: Giá trị của $P$ là $\frac{9}{13}$.

Câu 4:
a. Ta có:
$$ P = \frac{1 + \sin^2 \alpha}{1 - \sin^2 \alpha} $$
Ta biết rằng $ 1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha $, do đó:
$$ P = \frac{1 + \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} $$
Ta cũng biết rằng $ 1 = \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha $, do đó:
$$ P = \frac{\cos^2 \alpha + 2\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} $$
$$ P = \frac{\cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} + \frac{2\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} $$
$$ P = 1 + 2\tan^2 \alpha $$

b. Ta có:
$$ P = \tan \alpha \left( \frac{1 + \cos^2 \alpha}{\sin \alpha} - \sin \alpha \right) $$
Ta biết rằng $ \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} $, do đó:
$$ P = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \left( \frac{1 + \cos^2 \alpha}{\sin \alpha} - \sin \alpha \right) $$
$$ P = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \left( \frac{1 + \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}{\sin \alpha} \right) $$
Ta biết rằng $ 1 = \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha $, do đó:
$$ P = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \left( \frac{2\cos^2 \alpha}{\sin \alpha} \right) $$
$$ P = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \cdot \frac{2\cos^2 \alpha}{\sin \alpha} $$
$$ P = 2\cos \alpha $$

c. Ta có:
$$ P = \frac{\cot^2 x - \cos^2 x}{\cot^2 x} + \frac{\sin x \cos x}{\cot x} $$
Ta biết rằng $ \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} $, do đó:
$$ P = \frac{\frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} - \cos^2 x}{\frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}} + \frac{\sin x \cos x}{\frac{\cos x}{\sin x}} $$
$$ P = \frac{\frac{\cos^2 x - \cos^2 x \sin^2 x}{\sin^2 x}}{\frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}} + \frac{\sin x \cos x \sin x}{\cos x} $$
$$ P = \frac{\cos^2 x (1 - \sin^2 x)}{\cos^2 x} + \sin^2 x $$
Ta biết rằng $ 1 - \sin^2 x = \cos^2 x $, do đó:
$$ P = \cos^2 x + \sin^2 x $$
$$ P = 1 $$

Câu 5:
Để chứng minh rằng các biểu thức không phụ thuộc vào $ a $, chúng ta cần biến đổi các biểu thức sao cho không còn chứa $ a $.

a. Biểu thức $ B = \sin^4\alpha + \cos^2\alpha\sin^2\alpha + \cos^2\alpha $:

1. Sử dụng đẳng thức lượng giác cơ bản: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.

2. Biến đổi từng hạng tử trong biểu thức $ B $:

- $\sin^4\alpha = (\sin^2\alpha)^2$.
   - $\cos^2\alpha\sin^2\alpha = \sin^2\alpha(1 - \sin^2\alpha) = \sin^2\alpha - \sin^4\alpha$.

3. Thay vào biểu thức $ B $:

$$
   B = \sin^4\alpha + (\sin^2\alpha - \sin^4\alpha) + \cos^2\alpha
   $$

4. Rút gọn:

$$
   B = \sin^4\alpha + \sin^2\alpha - \sin^4\alpha + \cos^2\alpha = \sin^2\alpha + \cos^2\alpha
   $$

5. Theo đẳng thức lượng giác cơ bản, ta có:

$$
   \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1
   $$

Vậy, biểu thức $ B $ không phụ thuộc vào $ a $ và có giá trị là 1.

b. Biểu thức $ C = \cos^2\alpha\cot^2\alpha + 3\cos^2\alpha - \cot^2\alpha + 2\sin^2\alpha $:

1. Sử dụng định nghĩa của $\cot\alpha$: $\cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$.

2. Biến đổi từng hạng tử trong biểu thức $ C $:

- $\cos^2\alpha\cot^2\alpha = \cos^2\alpha \left(\frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}\right) = \frac{\cos^4\alpha}{\sin^2\alpha}$.
   - $-\cot^2\alpha = -\frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}$.

3. Thay vào biểu thức $ C $:

$$
   C = \frac{\cos^4\alpha}{\sin^2\alpha} + 3\cos^2\alpha - \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} + 2\sin^2\alpha
   $$

4. Gộp các phân thức:

$$
   C = \frac{\cos^4\alpha - \cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} + 3\cos^2\alpha + 2\sin^2\alpha
   $$

5. Rút gọn:

$$
   C = \frac{\cos^2\alpha(\cos^2\alpha - 1)}{\sin^2\alpha} + 3\cos^2\alpha + 2\sin^2\alpha
   $$

6. Sử dụng $\cos^2\alpha - 1 = -\sin^2\alpha$:

$$
   C = \frac{\cos^2\alpha(-\sin^2\alpha)}{\sin^2\alpha} + 3\cos^2\alpha + 2\sin^2\alpha
   $$

7. Rút gọn tiếp:

$$
   C = -\cos^2\alpha + 3\cos^2\alpha + 2\sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha + 2\sin^2\alpha
   $$

8. Theo đẳng thức lượng giác cơ bản, ta có:

$$
   2\cos^2\alpha + 2\sin^2\alpha = 2(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha) = 2 \times 1 = 2
   $$

Vậy, biểu thức $ C $ không phụ thuộc vào $ a $ và có giá trị là 2.

Kết luận: Cả hai biểu thức $ B $ và $ C $ đều không phụ thuộc vào $ a $.

Câu 6:
Để tìm số giờ có Mặt Trời chiếu sáng ở thành phố X vào ngày 31 tháng 1, chúng ta cần thay giá trị của t tương ứng với ngày này vào công thức d(t).

Ngày 31 tháng 1 tương ứng với t = 31.

Thay t = 31 vào công thức d(t):

$$ d(31) = 4\sin\left[\frac{2\pi}{365}(31 - 80)\right] + 12 $$

Tính toán bên trong dấu ngoặc vuông trước:

$$ 31 - 80 = -49 $$

$$ \frac{2\pi}{365}(-49) = \frac{-98\pi}{365} $$

Bây giờ, tính giá trị của sin:

$$ \sin\left(\frac{-98\pi}{365}\right) $$

Do tính chất của hàm sin, chúng ta biết rằng:

$$ \sin(-x) = -\sin(x) $$

Vì vậy:

$$ \sin\left(\frac{-98\pi}{365}\right) = -\sin\left(\frac{98\pi}{365}\right) $$

Tiếp theo, tính giá trị của sin:

$$ \sin\left(\frac{98\pi}{365}\right) \approx \sin\left(\frac{98 \times 3.1416}{365}\right) \approx \sin\left(\frac{307.8768}{365}\right) \approx \sin(0.8435) $$

Sử dụng bảng giá trị sin hoặc máy tính để tìm giá trị gần đúng:

$$ \sin(0.8435) \approx 0.745 $$

Vậy:

$$ \sin\left(\frac{-98\pi}{365}\right) \approx -0.745 $$

Thay giá trị này vào công thức d(t):

$$ d(31) = 4(-0.745) + 12 $$

$$ d(31) = -2.98 + 12 $$

$$ d(31) = 9.02 $$

Làm tròn kết quả đến hàng phần mười:

$$ d(31) \approx 9.0 $$

Vậy, thành phố X vào ngày 31 tháng 1 có khoảng 9.0 giờ có Mặt Trời chiếu sáng.

Câu 7:
Để giải bài toán này, ta cần xác định độ dài bóng của thanh OM trên mặt đất khi thanh quay được một góc nhất định.

Bước 1: Xác định góc quay của thanh OM
Thanh OM quay ngược chiều kim đồng hồ quanh gốc O. Khi quay được $\frac{60}{13}$ vòng, ta cần tính góc quay tương ứng bằng radian.

Một vòng quay tương ứng với góc $2\pi$ radian. Do đó, góc quay của thanh OM là:
$$
\theta = \frac{60}{13} \times 2\pi = \frac{120\pi}{13} \text{ radian}
$$

Bước 2: Tính độ dài bóng O'M
Khi thanh OM quay quanh gốc O, bóng của thanh trên mặt đất là hình chiếu vuông góc của thanh OM lên trục ngang. Độ dài bóng O'M chính là độ dài của hình chiếu này.

Giả sử thanh OM tạo với trục ngang một góc $\theta$. Độ dài bóng O'M được tính bằng công thức:
$$
O'M = OM \cdot |\cos(\theta)|
$$
Với $OM = 10$ cm, ta có:
$$
O'M = 10 \cdot |\cos\left(\frac{120\pi}{13}\right)|
$$

Bước 3: Tính giá trị của $\cos\left(\frac{120\pi}{13}\right)$
Góc $\frac{120\pi}{13}$ radian có thể được chuyển đổi về góc trong khoảng $[0, 2\pi]$ để tính giá trị của cos. Ta thực hiện phép chia:
$$
\frac{120\pi}{13} \div 2\pi = \frac{60}{13} \approx 4.615
$$
Phần nguyên là 4, do đó góc tương đương trong khoảng $[0, 2\pi]$ là:
$$
\frac{120\pi}{13} - 4 \times 2\pi = \frac{120\pi}{13} - 8\pi = \frac{120\pi - 104\pi}{13} = \frac{16\pi}{13}
$$

Bước 4: Tính giá trị của $\cos\left(\frac{16\pi}{13}\right)$
Sử dụng máy tính để tính giá trị của $\cos\left(\frac{16\pi}{13}\right)$, ta có:
$$
\cos\left(\frac{16\pi}{13}\right) \approx -0.766
$$

Bước 5: Tính độ dài bóng O'M
Thay giá trị $\cos\left(\frac{16\pi}{13}\right)$ vào công thức tính độ dài bóng:
$$
O'M = 10 \cdot |-0.766| = 10 \cdot 0.766 = 7.66 \text{ cm}
$$

Kết luận
Độ dài bóng O'M của thanh OM khi thanh quay được $\frac{60}{13}$ vòng là khoảng 7.7 cm (làm tròn đến hàng phần mười).