Giải hộ mình câu này với các bạn Bài 2. Tìm GTLN ( hoặc GTNN ).,$a,~A_1=3x^2-8x+1.$,$b,~A_2=x^2+5y^2-4xy+2x-10y+2032$,$c,~A_3=x^2-4xy+5y^2-2y+2023.$,$d,~A_4=x^2+5y^2-4xy+2x-8y+1013$,$e,~A_5=2x^2+3y^2+4xy-8x-2y+18.$,$g,~A_6=x^2+12x+39$ $b,~I=9x^2-12x$,$h,~A7=4x-x^2+1$ $k,~K=3-10x^2-4xy-4y)$,$m_8=x^2-3x+5.$,$Ay=x^2+y^2-3x+2y+3$,$A_{10}=2x^2+5y^2+4xy+8x-4y+15.$,$A_H=2x^2-x+3$,$A_{12}=x^2+y^2-x+4y+5$,$A_{13}=2x^2+4y^2+4xy-3x-1$,$A_{14}=12x-4x^2+3$,$A_{15}=6x-x^2+3$,$A_{16}=12x-8y-4x^2-y^2+1$,$A_{17}=2x-6y-x^2-y^2-2$

Question

Accepted Answer

Bài 2:
a) Ta có $A_1 = 3x^2 - 8x + 1$

Ta viết lại biểu thức dưới dạng $A_1 = 3(x^2 - \frac{8}{3}x) + 1$

Ta hoàn thiện bình phương $x^2 - \frac{8}{3}x$ bằng cách thêm và bớt $(\frac{4}{3})^2$:

$A_1 = 3(x^2 - \frac{8}{3}x + (\frac{4}{3})^2 - (\frac{4}{3})^2) + 1$

$A_1 = 3[(x - \frac{4}{3})^2 - \frac{16}{9}] + 1$

$A_1 = 3(x - \frac{4}{3})^2 - \frac{16}{3} + 1$

$A_1 = 3(x - \frac{4}{3})^2 - \frac{13}{3}$

Vì $3(x - \frac{4}{3})^2 \geq 0$ nên $A_1 \geq -\frac{13}{3}$

Dấu "=" xảy ra khi $x - \frac{4}{3} = 0$ hay $x = \frac{4}{3}$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $A_1$ là $-\frac{13}{3}$, đạt được khi $x = \frac{4}{3}$

b) Ta có $A_2 = x^2 + 5y^2 - 4xy + 2x - 10y + 2032$

Ta viết lại biểu thức dưới dạng $A_2 = (x^2 - 4xy + 4y^2) + (5y^2 - 4y^2) + 2x - 10y + 2032$

$A_2 = (x - 2y)^2 + y^2 + 2x - 10y + 2032$

Ta hoàn thiện bình phương $y^2 - 10y$ bằng cách thêm và bớt $25$:

$A_2 = (x - 2y)^2 + (y^2 - 10y + 25) - 25 + 2x + 2032$

$A_2 = (x - 2y)^2 + (y - 5)^2 + 2x + 2007$

Vì $(x - 2y)^2 \geq 0$ và $(y - 5)^2 \geq 0$ nên $A_2 \geq 2x + 2007$

Dấu "=" xảy ra khi $x - 2y = 0$ và $y - 5 = 0$ hay $x = 10$ và $y = 5$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $A_2$ là $2027$, đạt được khi $x = 10$ và $y = 5$

c) Ta có $A_3 = x^2 - 4xy + 5y^2 - 2y + 2023$

Ta viết lại biểu thức dưới dạng $A_3 = (x^2 - 4xy + 4y^2) + (5y^2 - 4y^2) - 2y + 2023$

$A_3 = (x - 2y)^2 + y^2 - 2y + 2023$

Ta hoàn thiện bình phương $y^2 - 2y$ bằng cách thêm và bớt $1$:

$A_3 = (x - 2y)^2 + (y^2 - 2y + 1) - 1 + 2023$

$A_3 = (x - 2y)^2 + (y - 1)^2 + 2022$

Vì $(x - 2y)^2 \geq 0$ và $(y - 1)^2 \geq 0$ nên $A_3 \geq 2022$

Dấu "=" xảy ra khi $x - 2y = 0$ và $y - 1 = 0$ hay $x = 2$ và $y = 1$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $A_3$ là $2022$, đạt được khi $x = 2$ và $y = 1$

d) Ta có $A_4 = x^2 + 5y^2 - 4xy + 2x - 8y + 1013$

Ta viết lại biểu thức dưới dạng $A_4 = (x^2 - 4xy + 4y^2) + (5y^2 - 4y^2) + 2x - 8y + 1013$

$A_4 = (x - 2y)^2 + y^2 + 2x - 8y + 1013$

Ta hoàn thiện bình phương $y^2 - 8y$ bằng cách thêm và bớt $16$:

$A_4 = (x - 2y)^2 + (y^2 - 8y + 16) - 16 + 2x + 1013$

$A_4 = (x - 2y)^2 + (y - 4)^2 + 2x + 997$

Vì $(x - 2y)^2 \geq 0$ và $(y - 4)^2 \geq 0$ nên $A_4 \geq 2x + 997$

Dấu "=" xảy ra khi $x - 2y = 0$ và $y - 4 = 0$ hay $x = 8$ và $y = 4$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $A_4$ là $1005$, đạt được khi $x = 8$ và $y = 4$

e) Ta có $A_5 = 2x^2 + 3y^2 + 4xy - 8x - 2y + 18$

Ta viết lại biểu thức dưới dạng $A_5 = (2x^2 + 4xy + 2y^2) + (3y^2 - 2y^2) - 8x - 2y + 18$

$A_5 = 2(x^2 + 2xy + y^2) + y^2 - 8x - 2y + 18$

$A_5 = 2(x + y)^2 + y^2 - 8x - 2y + 18$

Ta hoàn thiện bình phương $y^2 - 2y$ bằng cách thêm và bớt $1$:

$A_5 = 2(x + y)^2 + (y^2 - 2y + 1) - 1 - 8x + 18$

$A_5 = 2(x + y)^2 + (y - 1)^2 - 8x + 17$

Vì $2(x + y)^2 \geq 0$ và $(y - 1)^2 \geq 0$ nên $A_5 \geq -8x + 17$

Dấu "=" xảy ra khi $x + y = 0$ và $y - 1 = 0$ hay $x = -1$ và $y = 1$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $A_5$ là $9$, đạt được khi $x = -1$ và $y = 1$

g) Ta có $A_6 = x^2 + 12x + 39$

Ta viết lại biểu thức dưới dạng $A_6 = (x^2 + 12x + 36) + 3$

$A_6 = (x + 6)^2 + 3$

Vì $(x + 6)^2 \geq 0$ nên $A_6 \geq 3$

Dấu "=" xảy ra khi $x + 6 = 0$ hay $x = -6$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $A_6$ là $3$, đạt được khi $x = -6$

h) Ta có $I = 9x^2 - 12x$

Ta viết lại biểu thức dưới dạng $I = 9(x^2 - \frac{4}{3}x)$

Ta hoàn thiện bình phương $x^2 - \frac{4}{3}x$ bằng cách thêm và bớt $(\frac{2}{3})^2$:

$I = 9(x^2 - \frac{4}{3}x + (\frac{2}{3})^2 - (\frac{2}{3})^2)$

$I = 9[(x - \frac{2}{3})^2 - \frac{4}{9}]$

$I = 9(x - \frac{2}{3})^2 - 4$

Vì $9(x - \frac{2}{3})^2 \geq 0$ nên $I \geq -4$

Dấu "=" xảy ra khi $x - \frac{2}{3} = 0$ hay $x = \frac{2}{3}$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $I$ là $-4$, đạt được khi $x = \frac{2}{3}$

k) Ta có $K = 3 - 10x^2 - 4xy - 4y$

Ta viết lại biểu thức dưới dạng $K = 3 - (10x^2 + 4xy + 4y)$

Ta hoàn thiện bình phương $10x^2 + 4xy + 4y$ bằng cách thêm và bớt $10y^2$:

$K = 3 - (10x^2 + 4xy + 4y + 10y^2 - 10y^2)$

$K = 3 - [10(x^2 + \frac{2}{5}xy + \frac{2}{5}y) + 10y^2 - 10y^2]$

$K = 3 - [10(x^2 + \frac{2}{5}xy + \frac{2}{5}y + \frac{1}{25}y^2) - \frac{1}{25}y^2 + 10y^2 - 10y^2]$

$K = 3 - [10(x + \frac{1}{5}y)^2 - \frac{1}{25}y^2 + 10y^2 - 10y^2]$

$K = 3 - [10(x + \frac{1}{5}y)^2 - \frac{1}{25}y^2]$

Vì $10(x + \frac{1}{5}y)^2 \geq 0$ và $-\frac{1}{25}y^2 \leq 0$ nên $K \leq 3$

Dấu "=" xảy ra khi $x + \frac{1}{5}y = 0$ và $y = 0$ hay $x = 0$ và $y = 0$

Vậy giá trị lớn nhất của $K$ là $3$, đạt được khi $x = 0$ và $y = 0$

m) Ta có $m_8 = x^2 - 3x + 5$

Ta viết lại biểu thức dưới dạng $m_8 = (x^2 - 3x) + 5$

Ta hoàn thiện bình phương $x^2 - 3x$ bằng cách thêm và bớt $(\frac{3}{2})^2$:

$m_8 = (x^2 - 3x + (\frac{3}{2})^2 - (\frac{3}{2})^2) + 5$

$m_8 = [(x - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4}] + 5$

$m_8 = (x - \frac{3}{2})^2 + \frac{11}{4}$

Vì $(x - \frac{3}{2})^2 \geq 0$ nên $m_8 \geq \frac{11}{4}$

Dấu "=" xảy ra khi $x - \frac{3}{2} = 0$ hay $x = \frac{3}{2}$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $m_8$ là $\frac{11}{4}$, đạt được khi $x = \frac{3}{2}$

Ay) Ta có $Ay = x^2 + y^2 - 3x + 2y + 3$

Ta viết lại biểu thức dưới dạng $Ay = (x^2 - 3x) + (y^2 + 2y) + 3$

Ta hoàn thiện bình phương $x^2 - 3x$ bằng cách thêm và bớt $(\frac{3}{2})^2$:

$Ay = (x^2 - 3x + (\frac{3}{2})^2 - (\frac{3}{2})^2) + (y^2 + 2y) + 3$

$Ay = [(x - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4}] + (y^2 + 2y) + 3$

Ta hoàn thiện bình phương $y^2 + 2y$ bằng cách thêm và bớt $1$:

$Ay = [(x - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4}] + (y^2 + 2y + 1) - 1 + 3$

$Ay = (x - \frac{3}{2})^2 + (y + 1)^2 - \frac{9}{4} + 2$

$Ay = (x - \frac{3}{2})^2 + (y + 1)^2 - \frac{1}{4}$

Vì $(x - \frac{3}{2})^2 \geq 0$ và $(y + 1)^2 \geq 0$ nên $Ay \geq -\frac{1}{4}$

Dấu "=" xảy ra khi $x - \frac{3}{2} = 0$ và $y + 1 = 0$ hay $x = \frac{3}{2}$ và $y = -1$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $Ay$ là $-\frac{1}{4}$, đạt được khi $x = \frac{3}{2}$ và $y = -1$

A10) Ta có $A_{10} = 2x^2 + 5y^2 + 4xy + 8x - 4y + 15$

Ta viết lại biểu thức dưới dạng $A_{10} = (2x^2 + 4xy + 2y^2) + (5y^2 - 2y^2) + 8x - 4y + 15$

$A_{10} = 2(x^2 + 2xy + y^2) + 3y^2 + 8x - 4y + 15$

$A_{10} = 2(x + y)^2 + 3y^2 + 8x - 4y + 15$

Ta hoàn thiện bình phương $3y^2 - 4y$ bằng cách thêm và bớt $\frac{4}{3}$:

$A_{10} = 2(x + y)^2 + 3(y^2 - \frac{4}{3}y + \frac{4}{9}) - \frac{4}{3} + 8x + 15$

$A_{10} = 2(x + y)^2 + 3(y - \frac{2}{3})^2 - \frac{4}{3} + 8x + 15$

Vì $2(x + y)^2 \geq 0$ và $3(y - \frac{2}{3})^2 \geq 0$ nên $A_{10} \geq 8x + 11$

Dấu "=" xảy ra khi $x + y = 0$ và $y - \frac{2}{3} = 0$ hay $x = -\frac{2}{3}$ và $y = \frac{2}{3}$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $A_{10}$ là $11$, đạt được khi $x = -\frac{2}{3}$ và $y = \frac{2}{3}$

A_H) Ta có $A_H = 2x^2 - x + 3$

Ta viết lại biểu thức dưới dạng $A_H = 2(x^2 - \frac{1}{2}x) + 3$

Ta hoàn thiện bình phương $x^2 - \frac{1}{2}x$ bằng cách thêm và bớt $(\frac{1}{4})^2$:

$A_H = 2(x^2 - \frac{1}{2}x + (\frac{1}{4})^2 - (\frac{1}{4})^2) + 3$

$A_H = 2[(x - \frac{1}{4})^2 - \frac{1}{16}] + 3$

$A_H = 2(x - \frac{1}{4})^2 - \frac{1}{8} + 3$

$A_H = 2(x - \frac{1}{4})^2 + \frac{23}{8}$

Vì $2(x - \frac{1}{4})^2 \geq 0$ nên $A_H \geq \frac{23}{8}$

Dấu "=" xảy ra khi $x - \frac{1}{4} = 0$ hay $x = \frac{1}{4}$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $A_H$ là $\frac{23}{8}$, đạt được khi $x = \frac{1}{4}$

A12) Ta có $A_{12} = x^2 + y^2 - x + 4y + 5$

Ta viết lại biểu thức dưới dạng $A_{12} = (x^2 - x) + (y^2 + 4y) + 5$

Ta hoàn thiện bình phương $x^2 - x$ bằng cách thêm và bớt $(\frac{1}{2})^2$:

$A_{12} = (x^2 - x + (\frac{1}{2})^2 - (\frac{1}{2})^2) + (y^2 + 4y) + 5$

$A_{12} = [(x - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}] + (y^2 + 4y) + 5$

Ta hoàn thiện bình phương $y^2 + 4y$ bằng cách thêm và bớt $4$:

$A_{12} = [(x - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}] + (y^2 + 4y + 4) - 4 + 5$

$A_{12} = (x - \frac{1}{2})^2 + (y + 2)^2 - \frac{1}{4} + 1$

$A_{12} = (x - \frac{1}{2})^2 + (y + 2)^2 + \frac{3}{4}$

Vì $(x - \frac{1}{2})^2 \geq 0$ và $(y + 2)^2 \geq 0$ nên $A_{12} \geq \frac{3}{4}$

Dấu "=" xảy ra khi $x - \frac{1}{2} = 0$ và $y + 2 = 0$ hay $x = \frac{1}{2}$ và $y = -2$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $A_{12}$ là $\frac{3}{4}$, đạt được khi $x = \frac{1}{2}$ và $y = -2$

A13) Ta có $A_{13} = 2x^2 + 4y^2 + 4xy - 3x - 1$

Ta viết lại biểu thức dưới dạng $A_{13} = (2x^2 + 4xy + 2y^2) + (4y^2 - 2y^2) - 3x - 1$

$A_{13} = 2(x^2 + 2xy + y^2) + 2y^2 - 3x - 1$

$A_{13} = 2(x + y)^2 + 2y^2 - 3x - 1$

Ta hoàn thiện bình phương $2y^2 - 3x$ bằng cách thêm và bớt $\frac{9}{8}$:

$A_{13} = 2(x + y)^2 + 2(y^2 - \frac{3}{2}x + \frac{9}{8}) - \frac{9}{8} - 1$

$A_{13} = 2(x + y)^2 + 2(y - \frac{3}{4}x)^2 - \frac{17}{8}$

Vì $2(x + y)^2 \geq 0$ và $2(y - \frac{3}{4}x)^2 \geq 0$ nên $A_{13} \geq -\frac{17}{8}$

Dấu "=" xảy ra khi $x + y = 0$ và $y - \frac{3}{4}x = 0$ hay $x = 0$ và $y = 0$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $A_{13}$ là $-\frac{17}{8}$, đạt được khi $x = 0$ và $y = 0$

A14) Ta có $A_{14} = 12x - 4x^2 + 3$

Ta viết lại biểu thức dưới dạng $A_{14} = -4x^2 + 12x + 3$

Ta hoàn thiện bình phương $-4x^2 + 12x$ bằng cách thêm và bớt $9$:

$A_{14} = -4(x^2 - 3x) + 3$

$A_{14} = -4(x^2 - 3x + \frac{9}{4} - \frac{9}{4}) + 3$

$A_{14} = -4[(x - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4}] + 3$

$A_{14} = -4(x - \frac{3}{2})^2 + 9 + 3$

$A_{14} = -4(x - \frac{3}{2})^2 + 12$

Vì $-4(x - \frac{3}{2})^2 \leq 0$ nên $A_{14} \leq 12$

Dấu "=" xảy ra khi $x - \frac{3}{2} = 0$ hay $x = \frac{3}{2}$

Vậy giá trị lớn nhất của $A_{14}$ là $12$, đạt được khi $x = \frac{3}{2}$

A15) Ta có $A_{15} = 6x - x^2 + 3$

Ta viết lại biểu thức dưới dạng $A_{15} = -x^2 + 6x + 3$

Ta hoàn thiện bình phương $-x^2 + 6x$ bằng cách thêm và bớt $9$:

$A_{15} = -(x^2 - 6x) + 3$

$A_{15} = -(x^2 - 6x + 9 - 9) + 3$

$A_{15} = -[(x - 3)^2 - 9] + 3$

$A_{15} = -(x - 3)^2 + 9 + 3$

$A_{15} = -(x - 3)^2 + 12$

Vì $-(x - 3)^2 \leq 0$ nên $A_{15} \leq 12$

Dấu "=" xảy ra khi $x - 3 = 0$ hay $x = 3$

Vậy giá trị lớn nhất của $A_{15}$ là $12$, đạt được khi $x = 3$

A16) Ta có $A_{16} = 12x - 8y - 4x^2 - y^2 + 1$

Ta viết lại biểu thức dưới dạng $A_{16} = -4x^2 + 12x - y^2 - 8y + 1$

Ta hoàn thiện bình phương $-4x^2 + 12x$ bằng cách thêm và bớt $9$:

$A_{16} = -4(x^2 - 3x) - y^2 - 8y + 1$

$A_{16} = -4(x^2 - 3x + \frac{9}{4} - \frac{9}{4}) - y^2 - 8y + 1$

$A_{16} = -4[(x - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4}] - y^2 - 8y + 1$

$A_{16} = -4(x - \frac{3}{2})^2 + 9 - y^2 - 8y + 1$

Ta hoàn thiện bình phương $-y^2 - 8y$ bằng cách thêm và bớt $16$:

$A_{16} = -4(x - \frac{3}{2})^2 + 9 - (y^2 + 8y + 16) + 16 + 1$

$A_{16} = -4(x - \frac{3}{2})^2 + 9 - (y + 4)^2 + 17$

$A_{16} = -4(x - \frac{3}{2})^2 - (y + 4)^2 + 26$

Vì $-4(x - \frac{3}{2})^2 \leq 0$ và $-(y + 4)^2 \leq 0$ nên $A_{16} \leq 26$

Dấu "=" xảy ra khi $x - \frac{3}{2} = 0$ và $y + 4 = 0$ hay $x = \frac{3}{2}$ và $y = -4$

Vậy giá trị lớn nhất của $A_{16}$ là $26$, đạt được khi $x = \frac{3}{2}$ và $y = -4$

A17) Ta có $A_{17} = 2x - 6y - x^2 - y^2 - 2$

Ta viết lại biểu thức dưới dạng $A_{17} = -x^2 + 2x - y^2 - 6y - 2$

Ta hoàn thiện bình phương $-x^2 + 2x$ bằng cách thêm và bớt $1$:

$A_{17} = -(x^2 - 2x) - y^2 - 6y - 2$

$A_{17} = -(x^2 - 2x + 1 - 1) - y^2 - 6y - 2$

$A_{17} = -[(x - 1)^2 - 1] - y^2 - 6y - 2$

$A_{17} = -(x - 1)^2 + 1 - y^2 - 6y - 2$

Ta hoàn thiện bình phương $-y^2 - 6y$ bằng cách thêm và bớt $9$:

$A_{17} = -(x - 1)^2 + 1 - (y^2 + 6y + 9) + 9 - 2$

$A_{17} = -(x - 1)^2 + 1 - (y + 3)^2 + 8$

$A_{17} = -(x - 1)^2 - (y + 3)^2 + 9$

Vì $-(x - 1)^2 \leq 0$ và $-(y + 3)^2 \leq 0$ nên $A_{17} \leq 9$

Dấu "=" xảy ra khi $x - 1 = 0$ và $y + 3 = 0$ hay $x = 1$ và $y = -3$

Vậy giá trị lớn nhất của $A_{17}$ là $9$, đạt được khi $x = 1$ và $y = -3$