Cho tam giác (AB<AC). AD là tia phân giác của góc BAC (D thuộc BC). Trên cạnh AC lấy điểm M sao cho AM = AB a) C/m : Tam giác ABD = Tam giác AMD b) Gọi I giao điểm của AD và BM. C/m : I là trung điểm B...

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ đi qua từng phần một cách chi tiết. a) Chứng minh tam giác ABD = tam giác AMD - Xét tam giác ABD và tam giác AMD: - Ta có $$ (giả thiết). - $$ (vì AD là tia phân giác của góc BAC). - $$ là cạnh chung. Do đó, theo trường hợp cạnh-góc-cạnh (c-g-c), ta có tam giác ABD bằng tam giác AMD. b) Chứng minh I là trung điểm BM và AI vuông góc BM - Vì tam giác ABD = tam giác AMD (chứng minh ở phần a), nên $$. - Xét tam giác BMD, vì $$, nên tam giác BMD là tam giác cân tại D. - Gọi I là giao điểm của AD và BM. Vì AD là đường phân giác của góc BAC và BM là đường trung tuyến của tam giác cân BMD, nên I là trung điểm của BM. - Để chứng minh AI vuông góc với BM, ta xét tam giác ABI và tam giác AMI: - Ta có $$ (giả thiết). - $$ (vì I là trung điểm của BM). - $$ là cạnh chung. Do đó, tam giác ABI bằng tam giác AMI theo trường hợp cạnh-cạnh-cạnh (c-c-c), suy ra $$. Vì $$ (hai góc kề bù), nên $$. Vậy AI vuông góc với BM. c) Chứng minh MP // AB - Gọi K là trung điểm của AM, trên tia đối của tia KB lấy điểm P sao cho $$. - Vì K là trung điểm của AM, nên $$. - Do $$, nên tam giác KBP là tam giác cân tại K. - Xét tam giác AKM và tam giác PKM: - $$ (K là trung điểm của AM). - $$ (tam giác KBP cân tại K). - $$ là cạnh chung. Do đó, tam giác AKM bằng tam giác PKM theo trường hợp cạnh-cạnh-cạnh (c-c-c), suy ra $$. Vì $$, nên MP // AB (vì hai góc so le trong bằng nhau). Vậy MP // AB.