help meeee

Câu 1: Phương trình chuyển động của chất điểm là \( x(t) = -t^3 + 6t^2 \). a) Để xác định khoảng thời gian chất điểm chuyển động ngược với chiều dương của trục Ox, ta cần tìm khoảng thời gian mà vận tốc \( v(t) \) âm. Vận tốc \( v(t) \) là đạo hàm của \( x(t) \): \[ v(t) = \frac{dx}{dt} = -3t^2 + 12t \] Ta cần tìm khoảng thời gian mà \( v(t) < 0 \): \[ -3t^2 + 12t < 0 \] \[ -3t(t - 4) < 0 \] Bảng xét dấu của \( -3t(t - 4) \): | \( t \) | \( (-\infty, 0) \) | \( (0, 4) \) | \( (4, +\infty) \) | |---------|---------------------|---------------|----------------------| | \( -3t \) | \( + \) | \( - \) | \( - \) | | \( t-4 \) | \( - \) | \( - \) | \( + \) | | \( -3t(t-4) \) | \( - \) | \( + \) | \( - \) | Như vậy, \( v(t) < 0 \) trong khoảng \( t \in (0, 4) \). Tuy nhiên, đề bài yêu cầu kiểm tra trong khoảng từ \( t = 0 \) đến \( t = 3 \) giây. Do đó, chất điểm chuyển động ngược với chiều dương của trục Ox trong khoảng thời gian từ \( t = 0 \) đến \( t = 3 \) giây. b) Vận tốc trung bình của chất điểm trong khoảng thời gian từ \( t = 0 \) đến \( t = 4 \) giây là: \[ v_{\text{trung bình}} = \frac{x(4) - x(0)}{4 - 0} \] Tính \( x(4) \) và \( x(0) \): \[ x(4) = -(4)^3 + 6(4)^2 = -64 + 96 = 32 \] \[ x(0) = -(0)^3 + 6(0)^2 = 0 \] Do đó: \[ v_{\text{trung bình}} = \frac{32 - 0}{4} = 8 \text{ m/s} \] Vậy khẳng định "vận tốc trung bình của chất điểm trong khoảng thời gian từ \( t = 0 \) đến \( t = 4 \) giây bằng 6 m/s" là sai. c) Để tìm thời điểm vận tốc đạt cực đại, ta cần tìm đạo hàm bậc hai của \( x(t) \): \[ a(t) = \frac{d^2x}{dt^2} = -6t + 12 \] Đặt \( a(t) = 0 \) để tìm thời điểm vận tốc đạt cực trị: \[ -6t + 12 = 0 \] \[ t = 2 \] Kiểm tra dấu của \( a(t) \) trước và sau \( t = 2 \): - Khi \( t < 2 \), \( a(t) > 0 \) (vận tốc tăng). - Khi \( t > 2 \), \( a(t) < 0 \) (vận tốc giảm). Do đó, vận tốc đạt cực đại tại \( t = 2 \) giây. d) Để xác định chất điểm chuyển động chậm dần trong khoảng thời gian từ \( t = 2 \) đến \( t = 4 \) giây, ta cần kiểm tra dấu của gia tốc \( a(t) \) trong khoảng này: \[ a(t) = -6t + 12 \] Trong khoảng \( t \in [2, 4] \): - Khi \( t = 2 \), \( a(2) = -6(2) + 12 = 0 \) - Khi \( t = 4 \), \( a(4) = -6(4) + 12 = -12 \) Do \( a(t) \) âm trong khoảng \( t \in (2, 4) \), chất điểm chuyển động chậm dần trong khoảng thời gian từ \( t = 2 \) đến \( t = 4 \) giây. Tóm lại: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng. Câu 2: a) Vị trí chất điểm tại thời điểm 4 giây: \[ S(4) = -(4)^3 + 9(4)^2 + 21(4) + 1 = -64 + 144 + 84 + 1 = 164 \text{ m} \] b) Vận tốc đạt được của chất điểm tại thời điểm 2 giây: \[ v(t) = S'(t) = -3t^2 + 18t + 21 \] \[ v(2) = -3(2)^2 + 18(2) + 21 = -12 + 36 + 21 = 45 \text{ m/s} \] c) Gia tốc của chất điểm tại thời điểm chất điểm dừng lại: \[ v(t) = 0 \implies -3t^2 + 18t + 21 = 0 \] \[ t^2 - 6t - 7 = 0 \] \[ t = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 28}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{6 \pm 8}{2} \] \[ t = 7 \text{ hoặc } t = -1 \] Do \( t \geq 0 \), ta chọn \( t = 7 \). \[ a(t) = v'(t) = -6t + 18 \] \[ a(7) = -6(7) + 18 = -42 + 18 = -24 \text{ m/s}^2 \] d) Vị trí chất điểm tại thời điểm vận tốc đạt giá trị lớn nhất: \[ v(t) = -3t^2 + 18t + 21 \] \[ v'(t) = -6t + 18 = 0 \implies t = 3 \] \[ v''(t) = -6 < 0 \implies \text{vận tốc đạt giá trị lớn nhất tại } t = 3 \] \[ S(3) = -(3)^3 + 9(3)^2 + 21(3) + 1 = -27 + 81 + 63 + 1 = 118 \text{ m} \]