Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi M;N lần lượt trung điểm AB;AC. Kẻ NH vuông góc CM tại H, kẻ HE vg góc AB tại E. Kẻ AK vg góc CM tại K. Kẻ AK vuông góc HN tại Q.
a) chứng minh AK=HC=AQ và tính góc BKA

Question

Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi M;N lần lượt trung điểm AB;AC. Kẻ NH vuông góc CM tại H, kẻ HE vg góc AB tại E. Kẻ AK vg góc CM tại K. Kẻ AK vuông góc HN tại Q. 
a) chứng minh AK=HC=AQ và tính góc BKA

Accepted Answer

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một cách chi tiết.

a) Chứng minh $ AK = HC = AQ $

1. Tam giác ABC vuông cân tại A:
   - Vì tam giác ABC vuông cân tại A, nên $ AB = AC $ và $ \angle BAC = 90^\circ $.

2. M và N là trung điểm của AB và AC:
   - Do M và N là trung điểm của AB và AC, nên $ AM = MB $ và $ AN = NC $.

3. Kẻ NH vuông góc với CM tại H:
   - Do NH vuông góc với CM tại H, nên $ \angle NHM = 90^\circ $.

4. Kẻ HE vuông góc với AB tại E:
   - Do HE vuông góc với AB tại E, nên $ \angle HEB = 90^\circ $.

5. Kẻ AK vuông góc với CM tại K:
   - Do AK vuông góc với CM tại K, nên $ \angle AKC = 90^\circ $.

6. Kẻ AK vuông góc với HN tại Q:
   - Do AK vuông góc với HN tại Q, nên $ \angle AKQ = 90^\circ $.

7. Chứng minh $ AK = HC = AQ $:
   - Xét tam giác $ AKC $ và $ AHC $:
     - $ \angle AKC = \angle AHC = 90^\circ $ (do AK và HC đều vuông góc với CM).
     - $ AC $ là cạnh chung.
     - Do đó, tam giác $ AKC $ và $ AHC $ vuông tại K và H có cạnh huyền chung, nên $ AK = HC $.

- Xét tam giác $ AKQ $ và $ AHQ $:
     - $ \angle AKQ = \angle AHQ = 90^\circ $ (do AK và HQ đều vuông góc với HN).
     - $ AQ $ là cạnh chung.
     - Do đó, tam giác $ AKQ $ và $ AHQ $ vuông tại K và H có cạnh huyền chung, nên $ AK = AQ $.

- Từ hai kết quả trên, ta có $ AK = HC = AQ $.

b) Tính góc $ \angle BKA $:

1. Xét tam giác $ BKA $:
   - Ta đã biết $ AK $ vuông góc với $ CM $ tại $ K $, và $ CM $ là đường trung tuyến của tam giác vuông cân $ ABC $.

2. Tính góc $ \angle BKA $:
   - Vì $ AK $ vuông góc với $ CM $ và $ CM $ là đường trung tuyến, nên $ \angle BKA = 45^\circ $.

Kết luận: $ AK = HC = AQ $ và $ \angle BKA = 45^\circ $.

Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi M;N lần lượt trung điểm AB;AC. Kẻ NH vuông góc CM tại H, kẻ HE vg góc AB tại E. Kẻ AK vg góc CM tại K. Kẻ AK vuông góc HN tại Q. a) chứng minh AK=HC=AQ và tính gó...