Tính giá trị biểu thức. Câu 29. Xét tập hợp $S=\{z\in\mathbb{C}\|z-1|=1,(\sqrt2-1)(z+\overline z)-i(z-\overline z)=2\sqrt2\}.$ Gọi $z_1,z_2$ là hai số phức,thuộc S sao cho $|z_1|=\max_{z\in S}|z|$ và $|z_2|=\min_{z\in S}|z|.$ Giá trị của biểu thức $|\sqrt2z_1-z_2|^2$ là ____.

Question

Accepted Answer

Câu 29:
Để giải bài toán này, ta cần tìm các số phức $ z $ thỏa mãn hai điều kiện:

1. $ |z - 1| = 1 $
2. $ (\sqrt{2} - 1)(z + \overline{z}) - i(z - \overline{z}) = 2\sqrt{2} $

Bước 1: Điều kiện $ |z - 1| = 1 $

Điều kiện này mô tả một đường tròn trên mặt phẳng phức với tâm $ 1 $ và bán kính $ 1 $. Do đó, ta có thể viết:

$$
z = 1 + e^{i\theta}
$$

với $ \theta \in [0, 2\pi) $.

Bước 2: Điều kiện thứ hai

Ta có $ z = x + yi $ và $ \overline{z} = x - yi $. Khi đó:

$$
z + \overline{z} = 2x, \quad z - \overline{z} = 2yi
$$

Thay vào điều kiện thứ hai:

$$
(\sqrt{2} - 1)(2x) - i(2yi) = 2\sqrt{2}
$$

Tách phần thực và phần ảo, ta có:

$$
2(\sqrt{2} - 1)x = 2\sqrt{2} \quad \text{và} \quad -2y = 0
$$

Từ phương trình thứ hai, ta có $ y = 0 $.

Từ phương trình thứ nhất, ta có:

$$
2(\sqrt{2} - 1)x = 2\sqrt{2} \implies x = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1}
$$

Rút gọn biểu thức:

$$
x = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{2} + 1)}{1} = 2 + \sqrt{2}
$$

Vậy $ z = x + yi = (2 + \sqrt{2}) + 0i = 2 + \sqrt{2} $.

Bước 3: Tìm $ z_1 $ và $ z_2 $

Vì $ z $ là duy nhất và thỏa mãn cả hai điều kiện, nên $ z_1 = z_2 = 2 + \sqrt{2} $.

Bước 4: Tính giá trị của biểu thức $ |\sqrt{2}z_1 - z_2|^2 $

Ta có:

$$
\sqrt{2}z_1 = \sqrt{2}(2 + \sqrt{2}) = 2\sqrt{2} + 2
$$

Do đó:

$$
\sqrt{2}z_1 - z_2 = (2\sqrt{2} + 2) - (2 + \sqrt{2}) = \sqrt{2}
$$

Vậy:

$$
|\sqrt{2}z_1 - z_2|^2 = |\sqrt{2}|^2 = 2
$$

Kết luận, giá trị của biểu thức là $ \boxed{2} $.