Cho hình chóp S.ABCD, với Tứ giác là hình chữ nhật, AB = a, BC = 2a, SA vuông góc (ABCD), SA = a. tính khoảng cách từ SA đén BD

Question

Accepted Answer

Để tính khoảng cách từ đường thẳng $ SA $ đến đường chéo $ BD $ của hình chữ nhật $ ABCD $ trong hình chóp $ S.ABCD $, ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định vị trí các điểm:

- Đặt $ A(0, 0, 0) $, $ B(a, 0, 0) $, $ C(a, 2a, 0) $, $ D(0, 2a, 0) $.
   - Vì $ SA $ vuông góc với mặt phẳng $ (ABCD) $ và $ SA = a $, nên $ S(0, 0, a) $.

2. Phương trình đường thẳng $ SA $:

- Đường thẳng $ SA $ đi qua $ A(0, 0, 0) $ và $ S(0, 0, a) $, có phương trình tham số:
     $$
     \begin{cases}
     x = 0 \
     y = 0 \
     z = t, \quad t \in [0, a]
     \end{cases}
     $$

3. Phương trình đường chéo $ BD $:

- Đường chéo $ BD $ đi qua $ B(a, 0, 0) $ và $ D(0, 2a, 0) $, có phương trình tham số:
     $$
     \begin{cases}
     x = a - t \
     y = 2t \
     z = 0, \quad t \in [0, 1]
     \end{cases}
     $$

4. Tính khoảng cách từ $ SA $ đến $ BD $:

- Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trong không gian được tính bằng cách tìm khoảng cách từ điểm đó đến mặt phẳng chứa đường thẳng và vuông góc với đường thẳng đó.
   - Tìm mặt phẳng chứa $ BD $ và vuông góc với $ SA $. Mặt phẳng này có dạng $ z = 0 $ vì $ SA $ vuông góc với mặt phẳng $ (ABCD) $.
   - Khoảng cách từ điểm $ S(0, 0, a) $ đến mặt phẳng $ z = 0 $ là $ a $.

Vậy, khoảng cách từ đường thẳng $ SA $ đến đường chéo $ BD $ là $ a $.