cho tôi đáp án câu 4 Câu 4: (1 điểm) Chứng minh rằng giá trị biểu thức: $A=\cos\alpha+\cos(\alpha+\frac\pi5)+...+\cos(\alpha+\frac{9\pi}5)$ có giá trị không phụ,thuộc vào ơ.,Câu 5: (1 điểm) Rút gọn biểu thức sau:,$P=\frac{1-\cos^2(\frac\pi2+\alpha)}{1-\sin^2(\frac\pi2-\alpha)}-\cot(\frac\pi2-\alpha). an(\alpha-\frac\pi2)$

Question

cho tôi đáp án câu 4 Câu 4: (1 điểm) Chứng minh rằng giá trị biểu thức: $A=\cos\alpha+\cos(\alpha+\frac\pi5)+...+\cos(\alpha+\frac{9\pi}5)$ có giá trị không phụ,thuộc vào ơ.,Câu 5: (1 điểm) Rút gọn biểu thức sau:,$P=\frac{1-\cos^2(\frac\pi2+\alpha)}{1-\sin^2(\frac\pi2-\alpha)}-\cot(\frac\pi2-\alpha).	an(\alpha-\frac\pi2)$

Accepted Answer

Câu 4:
Để chứng minh rằng giá trị của biểu thức $ A = \cos\alpha + \cos\left(\alpha + \frac{\pi}{5}\right) + \cos\left(\alpha + \frac{2\pi}{5}\right) + \cdots + \cos\left(\alpha + \frac{9\pi}{5}\right) $ không phụ thuộc vào $\alpha$, chúng ta sẽ sử dụng tính chất của các góc trong chuỗi này.

Bước 1: Xác định các góc trong chuỗi.
Các góc trong chuỗi là:
$$ \alpha, \alpha + \frac{\pi}{5}, \alpha + \frac{2\pi}{5}, \alpha + \frac{3\pi}{5}, \alpha + \frac{4\pi}{5}, \alpha + \frac{5\pi}{5}, \alpha + \frac{6\pi}{5}, \alpha + \frac{7\pi}{5}, \alpha + \frac{8\pi}{5}, \alpha + \frac{9\pi}{5}. $$

Bước 2: Chú ý rằng các góc trên có thể viết lại dưới dạng:
$$ \alpha, \alpha + \frac{\pi}{5}, \alpha + \frac{2\pi}{5}, \alpha + \frac{3\pi}{5}, \alpha + \frac{4\pi}{5}, \alpha + \pi, \alpha + \pi + \frac{\pi}{5}, \alpha + \pi + \frac{2\pi}{5}, \alpha + \pi + \frac{3\pi}{5}, \alpha + \pi + \frac{4\pi}{5}. $$

Bước 3: Sử dụng tính chất của cosin đối với góc cộng $\pi$:
$$ \cos(\theta + \pi) = -\cos(\theta). $$
Do đó, ta có:
$$ \cos\left(\alpha + \pi\right) = -\cos(\alpha), $$
$$ \cos\left(\alpha + \pi + \frac{\pi}{5}\right) = -\cos\left(\alpha + \frac{\pi}{5}\right), $$
$$ \cos\left(\alpha + \pi + \frac{2\pi}{5}\right) = -\cos\left(\alpha + \frac{2\pi}{5}\right), $$
$$ \cos\left(\alpha + \pi + \frac{3\pi}{5}\right) = -\cos\left(\alpha + \frac{3\pi}{5}\right), $$
$$ \cos\left(\alpha + \pi + \frac{4\pi}{5}\right) = -\cos\left(\alpha + \frac{4\pi}{5}\right). $$

Bước 4: Thay các giá trị này vào biểu thức $A$:
$$ A = \cos\alpha + \cos\left(\alpha + \frac{\pi}{5}\right) + \cos\left(\alpha + \frac{2\pi}{5}\right) + \cos\left(\alpha + \frac{3\pi}{5}\right) + \cos\left(\alpha + \frac{4\pi}{5}\right) + (-\cos\alpha) + (-\cos\left(\alpha + \frac{\pi}{5}\right)) + (-\cos\left(\alpha + \frac{2\pi}{5}\right)) + (-\cos\left(\alpha + \frac{3\pi}{5}\right)) + (-\cos\left(\alpha + \frac{4\pi}{5}\right)). $$

Bước 5: Rút gọn biểu thức:
$$ A = \cos\alpha - \cos\alpha + \cos\left(\alpha + \frac{\pi}{5}\right) - \cos\left(\alpha + \frac{\pi}{5}\right) + \cos\left(\alpha + \frac{2\pi}{5}\right) - \cos\left(\alpha + \frac{2\pi}{5}\right) + \cos\left(\alpha + \frac{3\pi}{5}\right) - \cos\left(\alpha + \frac{3\pi}{5}\right) + \cos\left(\alpha + \frac{4\pi}{5}\right) - \cos\left(\alpha + \frac{4\pi}{5}\right). $$
$$ A = 0. $$

Vậy giá trị của biểu thức $A$ luôn bằng 0, không phụ thuộc vào $\alpha$.

Đáp án cuối cùng:
$$ \boxed{0} $$

Câu 5:
Ta có:
$P=\frac{1-\cos^2(\frac\pi2+\alpha)}{1-\sin^2(\frac\pi2-\alpha)}-\cot(\frac\pi2-\alpha)\cdot\tan(\alpha-\frac\pi2)$
$=\frac{\sin^2(\frac\pi2+\alpha)}{\cos^2(\frac\pi2-\alpha)}-\cot(\frac\pi2-\alpha)\cdot\tan(\alpha-\frac\pi2)$
$=\frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}-(-\tan\alpha)(-\cot\alpha)$
$=\cot^2\alpha-\tan\alpha\cdot\cot\alpha$
$=\cot^2\alpha-1$.