Giải phương trình. Câu 3. (2,0 điểm) Giải phương trình : $\frac{\sin2x-\cos2x+3\sin x+3\cos x+1-\sqrt3}{2\sin x-\sqrt3}=1.$

Question

Accepted Answer

Câu 3:
Điều kiện xác định: $ 2\sin x - \sqrt{3} \neq 0 \Leftrightarrow \sin x \neq \frac{\sqrt{3}}{2} $.

Phương trình đã cho:
$$ \frac{\sin2x - \cos2x + 3\sin x + 3\cos x + 1 - \sqrt{3}}{2\sin x - \sqrt{3}} = 1 $$

Nhân cả hai vế với $ 2\sin x - \sqrt{3} $:
$$ \sin2x - \cos2x + 3\sin x + 3\cos x + 1 - \sqrt{3} = 2\sin x - \sqrt{3} $$

Chuyển tất cả các hạng tử về một vế:
$$ \sin2x - \cos2x + 3\sin x + 3\cos x + 1 - \sqrt{3} - 2\sin x + \sqrt{3} = 0 $$
$$ \sin2x - \cos2x + \sin x + 3\cos x + 1 = 0 $$

Sử dụng công thức nhân đôi:
$$ \sin2x = 2\sin x \cos x $$
$$ \cos2x = \cos^2 x - \sin^2 x $$

Thay vào phương trình:
$$ 2\sin x \cos x - (\cos^2 x - \sin^2 x) + \sin x + 3\cos x + 1 = 0 $$
$$ 2\sin x \cos x - \cos^2 x + \sin^2 x + \sin x + 3\cos x + 1 = 0 $$

Gom nhóm các hạng tử:
$$ 2\sin x \cos x + \sin^2 x - \cos^2 x + \sin x + 3\cos x + 1 = 0 $$

Viết lại dưới dạng tổng quát:
$$ \sin^2 x + 2\sin x \cos x - \cos^2 x + \sin x + 3\cos x + 1 = 0 $$

Ta có thể viết lại phương trình này dưới dạng:
$$ (\sin x + \cos x)^2 + \sin x + 3\cos x + 1 = 0 $$

Đặt $ t = \sin x + \cos x $. Ta có:
$$ t^2 = \sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x $$
$$ t^2 = 1 + 2\sin x \cos x $$

Do đó:
$$ 2\sin x \cos x = t^2 - 1 $$

Thay vào phương trình:
$$ t^2 - 1 + \sin x + 3\cos x + 1 = 0 $$
$$ t^2 + \sin x + 3\cos x = 0 $$

Biến đổi tiếp:
$$ t^2 + t = 0 $$
$$ t(t + 1) = 0 $$

Có hai trường hợp:
1. $ t = 0 $
2. $ t = -1 $

Trường hợp 1: $ t = 0 $
$$ \sin x + \cos x = 0 $$
$$ \sin x = -\cos x $$
$$ \tan x = -1 $$
$$ x = -\frac{\pi}{4} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) $$

Trường hợp 2: $ t = -1 $
$$ \sin x + \cos x = -1 $$
$$ \sin x = -1 - \cos x $$

Kiểm tra điều kiện xác định:
$$ 2\sin x - \sqrt{3} \neq 0 $$
$$ 2(-1 - \cos x) - \sqrt{3} \neq 0 $$
$$ -2 - 2\cos x - \sqrt{3} \neq 0 $$
$$ -2\cos x \neq 2 + \sqrt{3} $$
$$ \cos x \neq -1 - \frac{\sqrt{3}}{2} $$

Vì $ \cos x $ không thể nhận giá trị này, nên trường hợp này bị loại.

Vậy nghiệm của phương trình là:
$$ x = -\frac{\pi}{4} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) $$