Tính a + b.

Câu 2: Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm các giá trị của \(a\) và \(b\) sao cho giới hạn của biểu thức \(\frac{ax^2 - 5x + b}{x^2 - 4}\) khi \(x\) tiến đến 2 bằng \(\frac{3}{4}\). Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) Biểu thức \(\frac{ax^2 - 5x + b}{x^2 - 4}\) có mẫu số là \(x^2 - 4\). Mẫu số này bằng 0 khi \(x = 2\) hoặc \(x = -2\). Do đó, \(x = 2\) là điểm mà chúng ta cần xét giới hạn. Bước 2: Tìm giới hạn Chúng ta cần tìm \(a\) và \(b\) sao cho: \[ \lim_{x \to 2} \frac{ax^2 - 5x + b}{x^2 - 4} = \frac{3}{4} \] Bước 3: Đơn giản hóa biểu thức Để đơn giản hóa biểu thức, chúng ta sẽ nhân tử số và mẫu số với \(x - 2\): \[ \frac{ax^2 - 5x + b}{x^2 - 4} = \frac{(ax^2 - 5x + b)(x - 2)}{(x^2 - 4)(x - 2)} \] Mẫu số \(x^2 - 4\) có thể viết lại thành \((x - 2)(x + 2)\): \[ \frac{(ax^2 - 5x + b)(x - 2)}{(x - 2)(x + 2)(x - 2)} = \frac{ax^2 - 5x + b}{(x + 2)(x - 2)} \] Bước 4: Tìm giới hạn khi \(x\) tiến đến 2 Khi \(x\) tiến đến 2, mẫu số \((x + 2)(x - 2)\) tiến đến 0. Để giới hạn tồn tại, tử số cũng phải tiến đến 0. Do đó, \(ax^2 - 5x + b\) phải bằng 0 khi \(x = 2\): \[ a(2)^2 - 5(2) + b = 0 \implies 4a - 10 + b = 0 \implies 4a + b = 10 \] Bước 5: Tìm giá trị của \(a\) và \(b\) Chúng ta đã biết rằng: \[ \lim_{x \to 2} \frac{ax^2 - 5x + b}{x^2 - 4} = \frac{3}{4} \] Do đó, khi \(x\) tiến đến 2, tử số \(ax^2 - 5x + b\) phải bằng \(\frac{3}{4}\) lần mẫu số \((x + 2)(x - 2)\): \[ \frac{ax^2 - 5x + b}{(x + 2)(x - 2)} = \frac{3}{4} \] Khi \(x = 2\): \[ \frac{4a - 10 + b}{(2 + 2)(2 - 2)} = \frac{3}{4} \] Do đó: \[ 4a - 10 + b = \frac{3}{4} \cdot 0 = 0 \] Từ đây, chúng ta có hệ phương trình: \[ 4a + b = 10 \] \[ 4a - 10 + b = 0 \] Giải hệ phương trình này: \[ 4a + b = 10 \] \[ 4a + b = 10 \] Trừ hai phương trình: \[ (4a + b) - (4a - 10 + b) = 10 - 0 \] \[ 10 = 10 \] Do đó, \(a = 2\) và \(b = 2\). Bước 6: Tính \(a + b\) \[ a + b = 2 + 2 = 4 \] Vậy, giá trị của \(a + b\) là 4.