Một con lắc đơn có chiều dài 1 m, được treo tại nơi có gia tốc trọng trường g = π2 m/s2. Giữ vật nhỏ của con lắc ở vị trí có li độ góc −9 rồi thả nhẹ vào lúc t = 0. Phương trình dao động của vật là

Question

Accepted Answer

Dữ liệu bài toán:
- Chiều dài con lắc: $ l = 1 \, m $
- Gia tốc trọng trường: $ g = \pi^2 \, m/s^2 $
- Li độ góc ban đầu: $\theta_0 = -9^\circ$
- Thả nhẹ tại $ t = 0 $ (tức vận tốc ban đầu là 0)

---

**Bước 1: Tính chu kỳ dao động của con lắc đơn**

Công thức chu kỳ dao động nhỏ của con lắc đơn là:
$$
T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}
$$

Thay số vào:
$$
T = 2\pi \sqrt{\frac{1}{\pi^2}} = 2\pi \cdot \frac{1}{\pi} = 2 \, (s)
$$

---

**Bước 2: Tính tần số góc $\omega$**

$$
\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{2} = \pi \, (rad/s)
$$

---

**Bước 3: Viết phương trình dao động**

Phương trình dao động của con lắc đơn trong dao động nhỏ có dạng:
$$
\theta(t) = \theta_0 \cos(\omega t + \varphi)
$$

Với điều kiện ban đầu:
- $ \theta(0) = \theta_0 = -9^\circ $
- $ \dot{\theta}(0) = 0 $ (vì thả nhẹ)

Thay $ t=0 $:
$$
\theta(0) = \theta_0 \cos \varphi = -9^\circ
$$

Vận tốc góc:
$$
\dot{\theta}(t) = -\theta_0 \omega \sin(\omega t + \varphi)
$$

Tại $ t=0 $:
$$
\dot{\theta}(0) = -\theta_0 \omega \sin \varphi = 0 \implies \sin \varphi = 0 \implies \varphi = 0 \text{ hoặc } \pi
$$

Thử với $\varphi=0$:
$$
\theta(0) = \theta_0 \cdot \cos 0 = \theta_0 = -9^\circ
$$
Chọn $\theta_0 = -9^\circ$, đúng với ban đầu.

---

**Kết luận:**

Phương trình dao động là:
$$
\boxed{
\theta(t) = -9^\circ \cos(\pi t)
}
$$

---

**Lưu ý:**

- Góc $\theta(t)$ có thể đổi sang rad nếu cần, $9^\circ = \frac{9\pi}{180} = \frac{\pi}{20}$ rad.
- Nếu viết bằng radian:
$$
\theta(t) = -\frac{\pi}{20} \cos(\pi t)
$$

Nhưng thường trong bài toán góc được giữ đơn vị độ, nên phương trình ở dạng trên là hợp lý.