Cho $x + y = 4$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $S = x^2 + y^2$.

Ta có $x + y = 4.$ Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm $x^2$ và $y^2$, ta có: $x^2 + y^2 \geq 2xy.$ Dấu $"="$ xảy ra khi $x = y.$ Từ $x + y = 4,$ ta suy ra $y = 4 - x.$ Thay vào $S = x^2 + y^2,$ ta có: $S = x^2 + (4 - x)^2 = x^2 + 16 - 8x + x^2 = 2x^2 - 8x + 16.$ Xét biểu thức $2x^2 - 8x + 16,$ ta thấy đây là một đa thức bậc hai có hệ số của $x^2$ dương, do đó nó đạt giá trị nhỏ nhất tại đỉnh của parabol. Đỉnh của parabol này có hoành độ là: $x = \frac{-(-8)}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2.$ Thay $x = 2$ vào $y = 4 - x,$ ta có: $y = 4 - 2 = 2.$ Do đó, giá trị nhỏ nhất của $S$ là: $S = 2^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8.$ Giá trị nhỏ nhất của $S$ là 8, đạt được khi $x = 2$ và $y = 2.$