chỉ bài hộ $d_2:\frac{x-2}1=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-1}1.$ Viết phương trình đường thẳng d đi qua A, vuông góc với đường thẳng $d_1$ và cắt thăng,$d_2.$,Câu 20. Trong không gian Oxyz, cho điểm $M(1;-1;2)$ và hai đường thẳng $d:\left\{\begin{array}{ll}x=t&-\y=-1-4t,&d^\prime:\frac x2=\frac{y-1}1=\frac{z+2}{-5}.\z=6+6t&-5\end{array} ight.$,Viết phương trình đường thẳng đi qua M, vuông góc với d và d'?,Câu 21. Trong không gian Oxyz , cho điểm $A(2;0;-1)$ và mặt phẳng $(P):~x+y-1=0.$ Viết phương trình đường thẳng đi,qua A đồng thời song song với (P) và mặt phẳng (Oxy),Câu 22.Trong không gian tọa độ Oxyz , viết phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm $A(3;-1;5)$ và cùng song song,với hai mặt phẳng $(P):~x-y+z-4=0,~(Q):~2x+y+z+4=0$,Câu 23. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng $(\alpha):~x-2y+z-1=0,~(\beta):~2x+y-z=0$ và,điểm $A(1;2;-1).$ Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm A và song song với cả hai mặt phẳng $(\alpha),(\beta)$,Câu 24. Trong không gian Oxyz , cho ba điểm $A(1;0;0),~B(0;2;0),~C(0;0;3).$ Viết phương trình đường thẳng đi qua,tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , song song với mặt phẳng (Oxy) và vuông góc với AB.,Câu 25. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm $M(1;3;-2),$ đồng,thời song song với giao tuyến của hai mặt phẳng $(P):~x+y-3=0$ và $(Q):~2x-y+z-\dot3=0.$,Câu 26. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d:\frac x1=\frac{y-1}2=\frac{z+2}2.$ mặt phẳng,$(P):~2x+y+2z-5=0$ và điểm $A(1;1;-2).$ Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm A song song với mặt,phẳng (P) và vuông góc với d,Câu 27. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng $(P):~x+y-z+9=0,$ đường thẳng $d:\frac{x-3}1=\frac{y-3}3=\frac z2$,và điểm $A(1;2;-1).$ Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm A cắt d và song song với mặt phẳng (P)..,Câu 28. Trong không gian với hệ tọa độ Òxyz , cho đường thẳng $d:\frac{x-1}2=\frac{y+5}{-1}=\frac{z-3}4.$ Viết phương trình đường thẳng,hình chiếu vuông góc của d trên mặt phẳng $x+3=0?$,Câu 29. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $(P):~x+y+z-3=0$ và đường thẳng $d:\frac x1=\frac{y+1}2=\frac{z-2}{-1}.$ Viết phươn,trình hình chiếu vuông góc của d trên (P),Câu 30. Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm $M(1;1;-1)$ và vuông góc với đường thẳn,$\Delta:\frac{x+1}2=\frac{y-2}2=\frac{z-1}1$,Câu 31. Trong không gian Oxyz, cho điểm $M(2;1;0)$ và đường thẳng $\Delta:\frac{x-3}1=\frac{y-1}4=\frac{z+1}{-2}.$ Viết phương trình m,phẳng đi qua M và vuông góc với $\Delta$,Câu 32. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm $M(3;-1;1).$ Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M,vuông góc với đường thẳng $\Delta:\frac{x-1}3=\frac{y+2}{-2}=\frac{z-3}1?$

Question

chỉ bài hộ $d_2:\frac{x-2}1=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-1}1.$ Viết phương trình đường thẳng d đi qua A, vuông góc với đường thẳng $d_1$ và cắt thăng,$d_2.$,Câu 20. Trong không gian Oxyz, cho điểm $M(1;-1;2)$ và hai đường thẳng $d:\left\{\begin{array}{ll}x=t&-\y=-1-4t,&d^\prime:\frac x2=\frac{y-1}1=\frac{z+2}{-5}.\z=6+6t&-5\end{array}ight.$,Viết phương trình đường thẳng đi qua M, vuông góc với d và d&#x27;?,Câu 21. Trong không gian Oxyz , cho điểm $A(2;0;-1)$ và mặt phẳng $(P):~x+y-1=0.$ Viết phương trình đường thẳng đi,qua A đồng thời song song với (P) và mặt phẳng (Oxy),Câu 22.Trong không gian tọa độ Oxyz , viết phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm $A(3;-1;5)$ và cùng song song,với hai mặt phẳng $(P):~x-y+z-4=0,~(Q):~2x+y+z+4=0$,Câu 23. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng $(\alpha):~x-2y+z-1=0,~(\beta):~2x+y-z=0$ và,điểm $A(1;2;-1).$ Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm A và song song với cả hai mặt phẳng $(\alpha),(\beta)$,Câu 24. Trong không gian Oxyz , cho ba điểm $A(1;0;0),~B(0;2;0),~C(0;0;3).$ Viết phương trình đường thẳng đi qua,tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , song song với mặt phẳng (Oxy) và vuông góc với AB.,Câu 25. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm $M(1;3;-2),$ đồng,thời song song với giao tuyến của hai mặt phẳng $(P):~x+y-3=0$ và $(Q):~2x-y+z-\dot3=0.$,Câu 26. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d:\frac x1=\frac{y-1}2=\frac{z+2}2.$ mặt phẳng,$(P):~2x+y+2z-5=0$ và điểm $A(1;1;-2).$ Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm A song song với mặt,phẳng (P) và vuông góc với d,Câu 27. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng $(P):~x+y-z+9=0,$ đường thẳng $d:\frac{x-3}1=\frac{y-3}3=\frac z2$,và điểm $A(1;2;-1).$ Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm A cắt d và song song với mặt phẳng (P)..,Câu 28. Trong không gian với hệ tọa độ Òxyz , cho đường thẳng $d:\frac{x-1}2=\frac{y+5}{-1}=\frac{z-3}4.$ Viết phương trình đường thẳng,hình chiếu vuông góc của d trên mặt phẳng $x+3=0?$,Câu 29. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $(P):~x+y+z-3=0$ và đường thẳng $d:\frac x1=\frac{y+1}2=\frac{z-2}{-1}.$ Viết phươn,trình hình chiếu vuông góc của d trên (P),Câu 30. Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm $M(1;1;-1)$ và vuông góc với đường thẳn,$\Delta:\frac{x+1}2=\frac{y-2}2=\frac{z-1}1$,Câu 31. Trong không gian Oxyz, cho điểm $M(2;1;0)$ và đường thẳng $\Delta:\frac{x-3}1=\frac{y-1}4=\frac{z+1}{-2}.$ Viết phương trình m,phẳng đi qua M và vuông góc với $\Delta$,Câu 32. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm $M(3;-1;1).$ Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M,vuông góc với đường thẳng $\Delta:\frac{x-1}3=\frac{y+2}{-2}=\frac{z-3}1?$

Accepted Answer

Câu 20:
Để viết phương trình đường thẳng đi qua điểm $ M(1; -1; 2) $ và vuông góc với cả hai đường thẳng $ d $ và $ d' $, ta cần thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định vectơ chỉ phương của các đường thẳng

- Đường thẳng $ d $ có phương trình tham số:
  $$
  \begin{cases}
  x = t \
  y = -1 - 4t \
  z = 6 + 6t
  \end{cases}
  $$
  Vectơ chỉ phương của $ d $ là $ \vec{u} = (1, -4, 6) $.

- Đường thẳng $ d' $ có phương trình chính tắc:
  $$
  \frac{x}{2} = \frac{y-1}{1} = \frac{z+2}{-5}
  $$
  Vectơ chỉ phương của $ d' $ là $ \vec{v} = (2, 1, -5) $.

Bước 2: Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng cần tìm

Đường thẳng cần tìm phải vuông góc với cả $ \vec{u} $ và $ \vec{v} $. Do đó, vectơ chỉ phương của đường thẳng này là tích có hướng của $ \vec{u} $ và $ \vec{v} $.

Tính tích có hướng $ \vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} $:
$$
\vec{n} = \begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \
1 & -4 & 6 \
2 & 1 & -5
\end{vmatrix}
= \vec{i}((-4)(-5) - 6 \cdot 1) - \vec{j}(1 \cdot (-5) - 6 \cdot 2) + \vec{k}(1 \cdot 1 - (-4) \cdot 2)
$$
$$
= \vec{i}(20 - 6) - \vec{j}(-5 - 12) + \vec{k}(1 + 8)
$$
$$
= \vec{i}(14) + \vec{j}(17) + \vec{k}(9)
$$
Vậy, $ \vec{n} = (14, 17, 9) $.

Bước 3: Viết phương trình đường thẳng

Đường thẳng đi qua điểm $ M(1, -1, 2) $ và có vectơ chỉ phương $ \vec{n} = (14, 17, 9) $ có phương trình tham số:
$$
\begin{cases}
x = 1 + 14t \
y = -1 + 17t \
z = 2 + 9t
\end{cases}
$$

Vậy, phương trình của đường thẳng cần tìm là:
$$
\begin{cases}
x = 1 + 14t \
y = -1 + 17t \
z = 2 + 9t
\end{cases}
$$

Câu 21:
Để viết phương trình đường thẳng đi qua điểm $ A(2, 0, -1) $ và song song với mặt phẳng $(P): x + y - 1 = 0$ và mặt phẳng $(Oxy)$, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng

- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là $\overrightarrow{n_P} = (1, 1, 0)$.
- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(Oxy)$ là $\overrightarrow{n_{Oxy}} = (0, 0, 1)$.

Bước 2: Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng

Đường thẳng cần tìm phải song song với cả hai mặt phẳng $(P)$ và $(Oxy)$. Điều này có nghĩa là vectơ chỉ phương của đường thẳng phải vuông góc với cả hai vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_P}$ và $\overrightarrow{n_{Oxy}}$.

Gọi $\overrightarrow{u} = (a, b, c)$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng. Ta có:

1. $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{n_P} = 0 \Rightarrow a + b = 0$.
2. $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{n_{Oxy}} = 0 \Rightarrow c = 0$.

Từ $a + b = 0$, ta có $b = -a$. Do đó, vectơ chỉ phương của đường thẳng có dạng $\overrightarrow{u} = (a, -a, 0)$.

Bước 3: Chọn vectơ chỉ phương cụ thể

Chọn $a = 1$, ta có $\overrightarrow{u} = (1, -1, 0)$.

Bước 4: Viết phương trình tham số của đường thẳng

Đường thẳng đi qua điểm $A(2, 0, -1)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = (1, -1, 0)$ có phương trình tham số:

$$
\begin{cases}
x = 2 + t \
y = 0 - t \
z = -1
\end{cases}
$$

Với $t \in \mathbb{R}$.

Vậy phương trình của đường thẳng cần tìm là:

$$
\begin{cases}
x = 2 + t \
y = -t \
z = -1
\end{cases}
$$

Với $t \in \mathbb{R}$.

Câu 22:
Để viết phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm $ A(3; -1; 5) $ và song song với hai mặt phẳng $(P): x-y+z-4=0$ và $(Q): 2x+y+z+4=0$, ta cần tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng này.

Bước 1: Tìm vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng

- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là $\overrightarrow{n_1} = (1, -1, 1)$.
- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(Q)$ là $\overrightarrow{n_2} = (2, 1, 1)$.

Bước 2: Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng

Đường thẳng song song với cả hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ thì vectơ chỉ phương của nó phải vuông góc với cả hai vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}$ và $\overrightarrow{n_2}$. Do đó, vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}$ của đường thẳng là tích có hướng của $\overrightarrow{n_1}$ và $\overrightarrow{n_2}$:

$$
\overrightarrow{u} = \overrightarrow{n_1} \times \overrightarrow{n_2} = 
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \
1 & -1 & 1 \
2 & 1 & 1 \
\end{vmatrix}
$$

Tính tích có hướng:

$$
\overrightarrow{u} = \mathbf{i}((-1)\cdot1 - 1\cdot1) - \mathbf{j}(1\cdot1 - 1\cdot2) + \mathbf{k}(1\cdot1 - (-1)\cdot2)
$$

$$
= \mathbf{i}(-1 - 1) - \mathbf{j}(1 - 2) + \mathbf{k}(1 + 2)
$$

$$
= \mathbf{i}(-2) + \mathbf{j}(1) + \mathbf{k}(3)
$$

$$
= (-2, 1, 3)
$$

Bước 3: Viết phương trình chính tắc của đường thẳng

Phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm $ A(3, -1, 5) $ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = (-2, 1, 3)$ là:

$$
\frac{x - 3}{-2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z - 5}{3}
$$

Vậy, phương trình chính tắc của đường thẳng cần tìm là:

$$
\frac{x - 3}{-2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z - 5}{3}
$$

Câu 23:
Để viết phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(1;2;-1)$ và song song với cả hai mặt phẳng $(\alpha)$ và $(\beta)$, ta cần tìm một vectơ chỉ phương của $\Delta$ mà đồng thời vuông góc với các vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng này.

1. Xác định vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng:

- Mặt phẳng $(\alpha): x - 2y + z - 1 = 0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_{\alpha}} = (1, -2, 1)$.
   - Mặt phẳng $(\beta): 2x + y - z = 0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_{\beta}} = (2, 1, -1)$.

2. Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$:

Để $\Delta$ song song với cả hai mặt phẳng $(\alpha)$ và $(\beta)$, vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}$ của $\Delta$ phải vuông góc với cả $\overrightarrow{n_{\alpha}}$ và $\overrightarrow{n_{\beta}}$. Do đó, $\overrightarrow{u}$ là tích có hướng của $\overrightarrow{n_{\alpha}}$ và $\overrightarrow{n_{\beta}}$:

$$
   \overrightarrow{u} = \overrightarrow{n_{\alpha}} \times \overrightarrow{n_{\beta}} = 
   \begin{vmatrix}
   \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \
   1 & -2 & 1 \
   2 & 1 & -1 \
   \end{vmatrix}
   $$

Tính tích có hướng:

$$
   \overrightarrow{u} = \mathbf{i}((-2)(-1) - 1 \cdot 1) - \mathbf{j}(1 \cdot (-1) - 1 \cdot 2) + \mathbf{k}(1 \cdot 1 - (-2) \cdot 2)
   $$

$$
   = \mathbf{i}(2 - 1) - \mathbf{j}(-1 - 2) + \mathbf{k}(1 + 4)
   $$

$$
   = \mathbf{i}(1) + \mathbf{j}(3) + \mathbf{k}(5)
   $$

Vậy, $\overrightarrow{u} = (1, 3, 5)$.

3. Viết phương trình đường thẳng $\Delta$:

Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(1, 2, -1)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = (1, 3, 5)$ có phương trình tham số:

$$
   \begin{cases}
   x = 1 + t \
   y = 2 + 3t \
   z = -1 + 5t \
   \end{cases}
   $$

với $t \in \mathbb{R}$.

Vậy phương trình đường thẳng $\Delta$ là:

$$
\begin{cases}
x = 1 + t \
y = 2 + 3t \
z = -1 + 5t \
\end{cases}
$$

với $t \in \mathbb{R}$.

Câu 24:
Để giải bài toán này, ta cần thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ là giao điểm của các đường trung trực của các cạnh tam giác. Tuy nhiên, trong không gian, ta có thể sử dụng công thức tọa độ của tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác với các đỉnh $A(x_1, y_1, z_1)$, $B(x_2, y_2, z_2)$, $C(x_3, y_3, z_3)$ như sau:

$$
(x, y, z) = \left( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}, \frac{z_1 + z_2 + z_3}{3} \right)
$$

Áp dụng công thức trên cho các điểm $A(1, 0, 0)$, $B(0, 2, 0)$, $C(0, 0, 3)$, ta có:

$$
(x, y, z) = \left( \frac{1 + 0 + 0}{3}, \frac{0 + 2 + 0}{3}, \frac{0 + 0 + 3}{3} \right) = \left( \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, 1 \right)
$$

Vậy tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ là $\left( \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, 1 \right)$.

Bước 2: Viết phương trình đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$, song song với mặt phẳng $Oxy$ và vuông góc với $AB$.

- Đường thẳng song song với mặt phẳng $Oxy$ có vectơ chỉ phương dạng $(a, b, 0)$.
- Đường thẳng vuông góc với $AB$ có vectơ chỉ phương vuông góc với vectơ $\overrightarrow{AB}$.

Tính vectơ $\overrightarrow{AB}$:

$$
\overrightarrow{AB} = (0 - 1, 2 - 0, 0 - 0) = (-1, 2, 0)
$$

Vectơ chỉ phương của đường thẳng cần tìm là $(a, b, 0)$ và vuông góc với $\overrightarrow{AB} = (-1, 2, 0)$, do đó:

$$
a \cdot (-1) + b \cdot 2 + 0 \cdot 0 = 0 \implies -a + 2b = 0 \implies a = 2b
$$

Chọn $b = 1$, ta có $a = 2$. Vậy vectơ chỉ phương của đường thẳng là $(2, 1, 0)$.

Bước 3: Viết phương trình đường thẳng.

Đường thẳng đi qua điểm $\left( \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, 1 \right)$ và có vectơ chỉ phương $(2, 1, 0)$ có phương trình tham số:

$$
\begin{cases}
x = \frac{1}{3} + 2t \
y = \frac{2}{3} + t \
z = 1
\end{cases}
$$

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là:

$$
\begin{cases}
x = \frac{1}{3} + 2t \
y = \frac{2}{3} + t \
z = 1
\end{cases}
$$

Câu 25:
Để viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm $ M(1, 3, -2) $ và song song với giao tuyến của hai mặt phẳng $(P): x + y - 3 = 0$ và $(Q): 2x - y + z - 3 = 0$, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tìm vectơ chỉ phương của giao tuyến

Giao tuyến của hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ là một đường thẳng. Để tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng này, ta cần tìm tích có hướng của hai vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng.

- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là $\overrightarrow{n_1} = (1, 1, 0)$.
- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(Q)$ là $\overrightarrow{n_2} = (2, -1, 1)$.

Tích có hướng của $\overrightarrow{n_1}$ và $\overrightarrow{n_2}$ là:
$$
\overrightarrow{d} = \overrightarrow{n_1} \times \overrightarrow{n_2} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \
1 & 1 & 0 \
2 & -1 & 1 \
\end{vmatrix}
$$

Tính toán:
$$
\overrightarrow{d} = \mathbf{i}(1 \cdot 1 - 0 \cdot (-1)) - \mathbf{j}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 2) + \mathbf{k}(1 \cdot (-1) - 1 \cdot 2)
$$
$$
= \mathbf{i}(1) - \mathbf{j}(1) + \mathbf{k}(-1 - 2)
$$
$$
= (1, -1, -3)
$$

Vậy, vectơ chỉ phương của giao tuyến là $\overrightarrow{d} = (1, -1, -3)$.

Bước 2: Viết phương trình tham số của đường thẳng

Đường thẳng cần tìm đi qua điểm $ M(1, 3, -2) $ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{d} = (1, -1, -3)$. Phương trình tham số của đường thẳng là:
$$
\begin{cases}
x = 1 + t \
y = 3 - t \
z = -2 - 3t
\end{cases}
$$
với $ t \in \mathbb{R} $.

Vậy, phương trình tham số của đường thẳng cần tìm là:
$$
\begin{cases}
x = 1 + t \
y = 3 - t \
z = -2 - 3t
\end{cases}
$$
với $ t \in \mathbb{R} $.

Câu 26:
Để viết phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(1;1;-2)$, song song với mặt phẳng $(P)$ và vuông góc với đường thẳng $d$, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$.

Phương trình đường thẳng $d$ có dạng:
$$
\frac{x}{1} = \frac{y-1}{2} = \frac{z+2}{2}
$$
Vectơ chỉ phương của $d$ là $\vec{u}_d = (1, 2, 2)$.

Bước 2: Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$.

Phương trình mặt phẳng $(P)$ là:
$$
2x + y + 2z - 5 = 0
$$
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là $\vec{n}_P = (2, 1, 2)$.

Bước 3: Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$.

Đường thẳng $\Delta$ cần thỏa mãn hai điều kiện:
- Vuông góc với đường thẳng $d$, tức là $\vec{u}_\Delta \cdot \vec{u}_d = 0$.
- Song song với mặt phẳng $(P)$, tức là $\vec{u}_\Delta \cdot \vec{n}_P = 0$.

Gọi $\vec{u}_\Delta = (a, b, c)$.

Điều kiện vuông góc với $d$:
$$
a \cdot 1 + b \cdot 2 + c \cdot 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad a + 2b + 2c = 0
$$

Điều kiện song song với $(P)$:
$$
a \cdot 2 + b \cdot 1 + c \cdot 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad 2a + b + 2c = 0
$$

Giải hệ phương trình:
$$
\begin{cases}
a + 2b + 2c = 0 \
2a + b + 2c = 0
\end{cases}
$$

Trừ phương trình thứ hai cho phương trình thứ nhất:
$$
(2a + b + 2c) - (a + 2b + 2c) = 0 \quad \Rightarrow \quad a - b = 0 \quad \Rightarrow \quad a = b
$$

Thay $a = b$ vào phương trình thứ nhất:
$$
a + 2a + 2c = 0 \quad \Rightarrow \quad 3a + 2c = 0 \quad \Rightarrow \quad c = -\frac{3}{2}a
$$

Chọn $a = 2$ (để tránh phân số), ta có:
$$
b = 2, \quad c = -3
$$

Vậy vectơ chỉ phương của $\Delta$ là $\vec{u}_\Delta = (2, 2, -3)$.

Bước 4: Viết phương trình đường thẳng $\Delta$.

Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(1, 1, -2)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u}_\Delta = (2, 2, -3)$, nên phương trình tham số của $\Delta$ là:
$$
\begin{cases}
x = 1 + 2t \
y = 1 + 2t \
z = -2 - 3t
\end{cases}
$$

Vậy phương trình đường thẳng $\Delta$ là:
$$
\frac{x-1}{2} = \frac{y-1}{2} = \frac{z+2}{-3}
$$

Câu 27:
Để viết phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(1;2;-1)$, cắt đường thẳng $d$ và song song với mặt phẳng $(P)$, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$

Phương trình mặt phẳng $(P)$ là:
$$
x + y - z + 9 = 0
$$
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là $\vec{n}_P = (1, 1, -1)$.

Bước 2: Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$

Phương trình đường thẳng $d$ là:
$$
\frac{x-3}{1} = \frac{y-3}{3} = \frac{z}{2}
$$
Vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$ là $\vec{u}_d = (1, 3, 2)$.

Bước 3: Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$

Đường thẳng $\Delta$ song song với mặt phẳng $(P)$ nên vectơ chỉ phương của $\Delta$ phải vuông góc với vectơ pháp tuyến $\vec{n}_P$. Do đó, ta cần tìm một vectơ $\vec{u}_\Delta$ sao cho:
$$
\vec{u}_\Delta \cdot \vec{n}_P = 0
$$

Giả sử $\vec{u}_\Delta = (a, b, c)$, ta có:
$$
a + b - c = 0
$$

Bước 4: Tìm điểm cắt của $\Delta$ và $d$

Đường thẳng $\Delta$ phải cắt đường thẳng $d$, do đó, $\vec{u}_\Delta$ phải là tổ hợp tuyến tính của $\vec{u}_d$ và một vectơ nào đó vuông góc với $\vec{n}_P$.

Giả sử $\vec{u}_\Delta = \vec{u}_d + \vec{v}$, với $\vec{v} = (a, b, c)$ và $\vec{v} \cdot \vec{n}_P = 0$.

Chọn $\vec{v} = (1, -1, 0)$ (thỏa mãn $1 + (-1) - 0 = 0$).

Khi đó, $\vec{u}_\Delta = \vec{u}_d + \vec{v} = (1, 3, 2) + (1, -1, 0) = (2, 2, 2)$.

Bước 5: Viết phương trình đường thẳng $\Delta$

Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(1, 2, -1)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u}_\Delta = (2, 2, 2)$, nên phương trình tham số của $\Delta$ là:
$$
\begin{cases}
x = 1 + 2t \
y = 2 + 2t \
z = -1 + 2t
\end{cases}
$$

Vậy phương trình đường thẳng $\Delta$ là:
$$
\frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{2} = \frac{z+1}{2}
$$

Câu 28:
Để tìm phương trình đường thẳng hình chiếu vuông góc của đường thẳng $d$ trên mặt phẳng $x + 3 = 0$, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định phương trình tham số của đường thẳng $d$

Đường thẳng $d$ có phương trình:

$$
\frac{x-1}{2} = \frac{y+5}{-1} = \frac{z-3}{4}
$$

Từ đó, ta có thể viết phương trình tham số của $d$ như sau:

$$
\begin{cases}
x = 1 + 2t \
y = -5 - t \
z = 3 + 4t
\end{cases}
$$

Với $t$ là tham số.

Bước 2: Xác định mặt phẳng $x + 3 = 0$

Mặt phẳng $x + 3 = 0$ có phương pháp pháp tuyến là $\mathbf{n} = (1, 0, 0)$.

Bước 3: Tìm hình chiếu vuông góc của đường thẳng $d$ lên mặt phẳng

Để tìm hình chiếu vuông góc của đường thẳng $d$ lên mặt phẳng $x + 3 = 0$, ta cần tìm một đường thẳng song song với $d$ và nằm trong mặt phẳng này.

Phương pháp pháp tuyến của mặt phẳng là $(1, 0, 0)$, do đó, hình chiếu của một điểm $(x, y, z)$ trên mặt phẳng này sẽ có dạng $(-3, y, z)$.

Bước 4: Tìm hình chiếu của một điểm trên $d$

Lấy một điểm bất kỳ trên $d$, chẳng hạn khi $t = 0$, ta có điểm $A(1, -5, 3)$.

Hình chiếu của điểm $A$ trên mặt phẳng $x + 3 = 0$ là $A'(-3, -5, 3)$.

Bước 5: Tìm hình chiếu của đường thẳng $d$

Đường thẳng $d$ có vector chỉ phương $\mathbf{u} = (2, -1, 4)$.

Hình chiếu của vector chỉ phương $\mathbf{u}$ lên mặt phẳng $x + 3 = 0$ là $(0, -1, 4)$ (bỏ thành phần theo trục $x$).

Bước 6: Viết phương trình đường thẳng hình chiếu

Phương trình tham số của đường thẳng hình chiếu là:

$$
\begin{cases}
x = -3 \
y = -5 - t \
z = 3 + 4t
\end{cases}
$$

Với $t$ là tham số.

Vậy phương trình đường thẳng hình chiếu vuông góc của $d$ trên mặt phẳng $x + 3 = 0$ là:

$$
\begin{cases}
x = -3 \
y = -5 - t \
z = 3 + 4t
\end{cases}
$$

Câu 29:
Để viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng $d$ trên mặt phẳng $(P)$, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định vectơ chỉ phương và điểm thuộc đường thẳng $d$

Đường thẳng $d$ có phương trình tham số:
$$
\frac{x}{1} = \frac{y+1}{2} = \frac{z-2}{-1} = t
$$
Từ đó, ta có:
$$
x = t, \quad y = 2t - 1, \quad z = -t + 2
$$
Vectơ chỉ phương của $d$ là $\vec{u} = (1, 2, -1)$.

Một điểm thuộc $d$ khi $t = 0$ là $A(0, -1, 2)$.

Bước 2: Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$

Mặt phẳng $(P)$ có phương trình:
$$
x + y + z - 3 = 0
$$
Vectơ pháp tuyến của $(P)$ là $\vec{n} = (1, 1, 1)$.

Bước 3: Tìm hình chiếu vuông góc của điểm $A$ lên mặt phẳng $(P)$

Gọi $A'$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $(P)$. Ta có:
$$
\overrightarrow{AA'} = k\vec{n} = k(1, 1, 1)
$$
Điểm $A'$ có tọa độ:
$$
A'(0 + k, -1 + k, 2 + k)
$$
Vì $A'$ thuộc $(P)$, nên:
$$
(0 + k) + (-1 + k) + (2 + k) - 3 = 0
$$
$$
k + k + k - 1 + 2 - 3 = 0 \Rightarrow 3k - 2 = 0 \Rightarrow k = \frac{2}{3}
$$
Vậy, tọa độ của $A'$ là:
$$
A'\left(\frac{2}{3}, -\frac{1}{3}, \frac{8}{3}\right)
$$

Bước 4: Tìm vectơ chỉ phương của hình chiếu

Vectơ chỉ phương của hình chiếu là hình chiếu của $\vec{u}$ lên mặt phẳng $(P)$. Ta có:
$$
\vec{u} = (1, 2, -1)
$$
Hình chiếu của $\vec{u}$ lên $(P)$ là:
$$
\vec{u'} = \vec{u} - \frac{\vec{u} \cdot \vec{n}}{\vec{n} \cdot \vec{n}} \vec{n}
$$
Tính:
$$
\vec{u} \cdot \vec{n} = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 1 + (-1) \cdot 1 = 2
$$
$$
\vec{n} \cdot \vec{n} = 1^2 + 1^2 + 1^2 = 3
$$
$$
\vec{u'} = (1, 2, -1) - \frac{2}{3}(1, 1, 1) = \left(1 - \frac{2}{3}, 2 - \frac{2}{3}, -1 - \frac{2}{3}\right) = \left(\frac{1}{3}, \frac{4}{3}, -\frac{5}{3}\right)
$$

Bước 5: Viết phương trình đường thẳng hình chiếu

Phương trình tham số của đường thẳng hình chiếu là:
$$
x = \frac{2}{3} + \frac{1}{3}t, \quad y = -\frac{1}{3} + \frac{4}{3}t, \quad z = \frac{8}{3} - \frac{5}{3}t
$$

Vậy, phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng $d$ trên mặt phẳng $(P)$ là:
$$
\frac{x - \frac{2}{3}}{\frac{1}{3}} = \frac{y + \frac{1}{3}}{\frac{4}{3}} = \frac{z - \frac{8}{3}}{-\frac{5}{3}}
$$

Câu 30:
Để viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm $ M(1, 1, -1) $ và vuông góc với đường thẳng $\Delta: \frac{x+1}{2} = \frac{y-2}{2} = \frac{z-1}{1}$, ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$:

Đường thẳng $\Delta$ có dạng tham số:
   $$
   \begin{cases}
   x = -1 + 2t \
   y = 2 + 2t \
   z = 1 + t
   \end{cases}
   $$
   Từ đây, ta thấy vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ là $\vec{u} = (2, 2, 1)$.

2. Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng:

Vì mặt phẳng cần tìm vuông góc với đường thẳng $\Delta$, nên vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chính là vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$. Do đó, vectơ pháp tuyến $\vec{n}$ của mặt phẳng là $(2, 2, 1)$.

3. Viết phương trình mặt phẳng:

Phương trình tổng quát của mặt phẳng có dạng:
   $$
   ax + by + cz + d = 0
   $$
   với $(a, b, c)$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng. Ở đây, $(a, b, c) = (2, 2, 1)$.

Thay tọa độ điểm $M(1, 1, -1)$ vào phương trình mặt phẳng:
   $$
   2 \cdot 1 + 2 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) + d = 0
   $$
   $$
   2 + 2 - 1 + d = 0
   $$
   $$
   3 + d = 0 \Rightarrow d = -3
   $$

Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là:
   $$
   2x + 2y + z - 3 = 0
   $$

Kết luận: Phương trình mặt phẳng đi qua điểm $M(1, 1, -1)$ và vuông góc với đường thẳng $\Delta$ là $2x + 2y + z - 3 = 0$.

Câu 31:
Để viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm $ M(2, 1, 0) $ và vuông góc với đường thẳng $\Delta$, ta cần thực hiện các bước sau:

1. Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$:

Đường thẳng $\Delta$ có phương trình tham số:
   $$
   \frac{x-3}{1} = \frac{y-1}{4} = \frac{z+1}{-2}
   $$
   Từ đây, ta có vectơ chỉ phương của $\Delta$ là $\vec{u} = (1, 4, -2)$.

2. Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng:

Vì mặt phẳng cần tìm vuông góc với đường thẳng $\Delta$, nên vectơ pháp tuyến của mặt phẳng sẽ trùng với vectơ chỉ phương của $\Delta$. Do đó, vectơ pháp tuyến $\vec{n}$ của mặt phẳng là $(1, 4, -2)$.

3. Viết phương trình mặt phẳng:

Phương trình tổng quát của mặt phẳng có dạng:
   $$
   ax + by + cz + d = 0
   $$
   với $(a, b, c)$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng. Ở đây, $(a, b, c) = (1, 4, -2)$.

Thay vào phương trình, ta có:
   $$
   1 \cdot x + 4 \cdot y - 2 \cdot z + d = 0
   $$
   hay:
   $$
   x + 4y - 2z + d = 0
   $$

4. Tìm $d$ bằng cách thay tọa độ điểm $M(2, 1, 0)$ vào phương trình mặt phẳng:

Thay $M(2, 1, 0)$ vào phương trình:
   $$
   2 + 4 \cdot 1 - 2 \cdot 0 + d = 0
   $$
   $$
   2 + 4 + d = 0
   $$
   $$
   d = -6
   $$

5. Phương trình mặt phẳng:

Thay $d = -6$ vào phương trình mặt phẳng, ta được:
   $$
   x + 4y - 2z - 6 = 0
   $$

Vậy, phương trình mặt phẳng đi qua điểm $M(2, 1, 0)$ và vuông góc với đường thẳng $\Delta$ là:
$$
x + 4y - 2z - 6 = 0
$$

Câu 32:
Để viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm $ M(3; -1; 1) $ và vuông góc với đường thẳng $\Delta: \frac{x-1}{3} = \frac{y+2}{-2} = \frac{z-3}{1}$, ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$:

Đường thẳng $\Delta$ có dạng tham số:
   $$
   \begin{cases}
   x = 1 + 3t \
   y = -2 - 2t \
   z = 3 + t
   \end{cases}
   $$
   Vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ là $\vec{u} = (3, -2, 1)$.

2. Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng:

Vì mặt phẳng cần tìm vuông góc với đường thẳng $\Delta$, nên vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chính là vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$. Do đó, vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (3, -2, 1)$.

3. Viết phương trình mặt phẳng:

Phương trình mặt phẳng có dạng:
   $$
   a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0
   $$
   với $(a, b, c)$ là tọa độ của vectơ pháp tuyến và $(x_0, y_0, z_0)$ là tọa độ của điểm $M$.

Thay $(a, b, c) = (3, -2, 1)$ và $(x_0, y_0, z_0) = (3, -1, 1)$ vào phương trình trên, ta được:
   $$
   3(x - 3) - 2(y + 1) + 1(z - 1) = 0
   $$

Rút gọn phương trình:
   $$
   3x - 9 - 2y - 2 + z - 1 = 0
   $$
   $$
   3x - 2y + z - 12 = 0
   $$

Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là:
$$
3x - 2y + z - 12 = 0
$$