Tính diện tích đa giác. Câu 28. Cho phương trình $\frac{\cos4x-\cos2x+2\sin^2x}{\cos x+\sin x}=0.$ Tính diện tích đa giác có các đỉnh là các điểm,biểu diễn các nghiệm của phương trình trên đường tròn lượng giác.

Question

Accepted Answer

Câu 28:
Để giải phương trình $\frac{\cos 4x - \cos 2x + 2\sin^2 x}{\cos x + \sin x} = 0$, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ)

Phân thức xác định khi mẫu khác 0, tức là $\cos x + \sin x \neq 0$.

Ta có:
$$
\cos x + \sin x = 0 \implies \cos x = -\sin x
$$

Chia cả hai vế cho $\cos x$ (với điều kiện $\cos x \neq 0$), ta được:
$$
1 = -\tan x \implies \tan x = -1
$$

Do đó, $x = \frac{3\pi}{4} + k\pi$, với $k \in \mathbb{Z}$.

Vậy, ĐKXĐ là $x \neq \frac{3\pi}{4} + k\pi$.

Bước 2: Giải phương trình

Phương trình ban đầu là:
$$
\cos 4x - \cos 2x + 2\sin^2 x = 0
$$

Sử dụng công thức $\cos 4x = 2\cos^2 2x - 1$ và $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$, ta có:
$$
2\cos^2 2x - 1 - (1 - 2\sin^2 x) + 2\sin^2 x = 0
$$

Rút gọn:
$$
2\cos^2 2x - 1 - 1 + 2\sin^2 x + 2\sin^2 x = 0
$$

$$
2\cos^2 2x + 4\sin^2 x - 2 = 0
$$

Chia cả hai vế cho 2:
$$
\cos^2 2x + 2\sin^2 x - 1 = 0
$$

Sử dụng $\cos^2 2x = 1 - \sin^2 2x$, ta có:
$$
1 - \sin^2 2x + 2\sin^2 x - 1 = 0
$$

$$
-\sin^2 2x + 2\sin^2 x = 0
$$

$$
\sin^2 2x = 2\sin^2 x
$$

$\sin 2x = \pm \sqrt{2}\sin x$, nhưng $|\sin 2x| \leq 1$, do đó chỉ có thể là $\sin 2x = 0$.

Vậy:
$$
2x = k\pi \implies x = \frac{k\pi}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}
$$

Bước 3: Loại bỏ nghiệm không thỏa mãn ĐKXĐ

Từ ĐKXĐ, $x \neq \frac{3\pi}{4} + k\pi$.

Xét các giá trị $x = \frac{k\pi}{2}$ trong khoảng $[0, 2\pi)$:
- $x = 0$
- $x = \frac{\pi}{2}$
- $x = \pi$
- $x = \frac{3\pi}{2}$

Tất cả các giá trị này đều thỏa mãn ĐKXĐ.

Bước 4: Tính diện tích đa giác

Các điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác là:
- $A(1, 0)$ tương ứng với $x = 0$
- $B(0, 1)$ tương ứng với $x = \frac{\pi}{2}$
- $C(-1, 0)$ tương ứng với $x = \pi$
- $D(0, -1)$ tương ứng với $x = \frac{3\pi}{2}$

Đây là các đỉnh của hình vuông nội tiếp đường tròn lượng giác bán kính 1. Diện tích hình vuông là:
$$
S = \text{cạnh}^2 = (2 \times 1)^2 = 4
$$

Vậy, diện tích đa giác là $4$.