Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H và cắt đường tròn (O) lần lượt tại M,N,P.

1. Chứng minh rằng: Tứ giác CEHD, nội tiếp .

2. Bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đường tròn.

3. AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC

Question

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H và cắt đường tròn (O) lần lượt tại M,N,P.

1. Chứng minh rằng: Tứ giác CEHD, nội tiếp .

2. Bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đường tròn.

3. AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC

Accepted Answer

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ đi qua từng phần một cách chi tiết.

1. Chứng minh rằng tứ giác CEHD nội tiếp:

Để chứng minh tứ giác CEHD nội tiếp, ta cần chứng minh rằng tổng hai góc đối diện của tứ giác này bằng 180 độ.

- Xét tam giác ABC, ta có AD là đường cao nên $ \angle ADB = 90^\circ $.
- Tương tự, BE là đường cao nên $ \angle BEC = 90^\circ $.

Do đó, trong tứ giác CEHD, ta có:
- $ \angle CED = \angle BEC = 90^\circ $
- $ \angle CHD = \angle ADB = 90^\circ $

Vì $ \angle CED + \angle CHD = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ $, nên tứ giác CEHD nội tiếp.

2. Chứng minh bốn điểm B, C, E, F cùng nằm trên một đường tròn:

Để chứng minh bốn điểm B, C, E, F cùng nằm trên một đường tròn, ta cần chứng minh rằng tổng hai góc đối diện của tứ giác này bằng 180 độ.

- Xét tam giác ABC, ta có BE và CF là các đường cao nên:
  - $ \angle BEC = 90^\circ $
  - $ \angle BFC = 90^\circ $

Do đó, trong tứ giác BCEF, ta có:
- $ \angle BEC + \angle BFC = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ $

Vì vậy, bốn điểm B, C, E, F cùng nằm trên một đường tròn.

3. Chứng minh AE.AC = AH.AD và AD.BC = BE.AC:

- Chứng minh AE.AC = AH.AD:

Xét tam giác AEC và tam giác AHD, ta có:
  - $ \angle AEC = \angle AHD = 90^\circ $ (do E và D là chân đường cao)
  - $ \angle CAE = \angle DAH $ (góc chung)

Do đó, hai tam giác AEC và AHD đồng dạng theo trường hợp góc-góc (AA).

Từ sự đồng dạng này, ta có:
  $$
  \frac{AE}{AH} = \frac{AC}{AD}
  $$
  Suy ra: $ AE \cdot AD = AH \cdot AC $.

- Chứng minh AD.BC = BE.AC:

Xét tam giác ABD và tam giác ABE, ta có:
  - $ \angle ABD = \angle ABE = 90^\circ $ (do D và E là chân đường cao)
  - $ \angle BAD = \angle BAE $ (góc chung)

Do đó, hai tam giác ABD và ABE đồng dạng theo trường hợp góc-góc (AA).

Từ sự đồng dạng này, ta có:
  $$
  \frac{AD}{BE} = \frac{AB}{AC}
  $$
  Suy ra: $ AD \cdot AC = BE \cdot AB $.

Vậy, ta đã chứng minh được các đẳng thức cần thiết.

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H và cắt đường tròn (O) lần lượt tại M,N,P. 1. Chứng minh rằng: Tứ giác CEHD, nội tiếp . 2. Bốn điểm B,C...