giải họ minh

Câu 11: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các công thức lượng giác cơ bản và các tính chất của góc trong các khoảng đã cho. 1. Tìm cosα và sinα từ sin2α: - Ta biết rằng \(\sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha\). Vì \(\sin2\alpha = -\frac{4}{5}\), nên: \[ 2\sin\alpha\cos\alpha = -\frac{4}{5} \] Điều này chứng tỏ rằng \(\sin\alpha\) và \(\cos\alpha\) phải có dấu ngược nhau (vì tích của chúng âm). 2. Xác định dấu của cosα và sinα: - Góc \(\alpha\) nằm trong khoảng \(\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{3\pi}{2}\), tức là \(\alpha\) thuộc nửa dưới của đường tròn đơn vị. Trong khoảng này, \(\cos\alpha\) luôn âm và \(\sin\alpha\) có thể dương hoặc âm. - Vì \(\sin2\alpha = -\frac{4}{5}\) âm, nên \(\sin\alpha\) và \(\cos\alpha\) phải có dấu ngược nhau. Do \(\cos\alpha\) âm, \(\sin\alpha\) phải dương. 3. Tìm giá trị cụ thể của cosα và sinα: - Ta có \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\). Giả sử \(\cos\alpha = -x\) và \(\sin\alpha = y\), với \(x > 0\) và \(y > 0\). Thay vào phương trình trên: \[ y^2 + (-x)^2 = 1 \implies y^2 + x^2 = 1 \] - Từ \(\sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha = -\frac{4}{5}\), ta có: \[ 2(-x)y = -\frac{4}{5} \implies xy = \frac{2}{5} \] 4. Giải hệ phương trình: - Ta có hệ phương trình: \[ \begin{cases} y^2 + x^2 = 1 \\ xy = \frac{2}{5} \end{cases} \] - Từ \(xy = \frac{2}{5}\), suy ra \(y = \frac{2}{5x}\). Thay vào phương trình đầu tiên: \[ \left(\frac{2}{5x}\right)^2 + x^2 = 1 \implies \frac{4}{25x^2} + x^2 = 1 \] Nhân cả hai vế với \(25x^2\): \[ 4 + 25x^4 = 25x^2 \implies 25x^4 - 25x^2 + 4 = 0 \] Đặt \(t = x^2\), ta có: \[ 25t^2 - 25t + 4 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này: \[ t = \frac{25 \pm \sqrt{625 - 400}}{50} = \frac{25 \pm \sqrt{225}}{50} = \frac{25 \pm 15}{50} \] Suy ra: \[ t = \frac{40}{50} = \frac{4}{5} \quad \text{hoặc} \quad t = \frac{10}{50} = \frac{1}{5} \] Vậy \(x^2 = \frac{4}{5}\) hoặc \(x^2 = \frac{1}{5}\). 5. Kiểm tra các trường hợp: - Nếu \(x^2 = \frac{4}{5}\), thì \(x = \frac{2}{\sqrt{5}}\) và \(y = \frac{1}{\sqrt{5}}\). - Nếu \(x^2 = \frac{1}{5}\), thì \(x = \frac{1}{\sqrt{5}}\) và \(y = \frac{2}{\sqrt{5}}\). 6. Kết luận: - Vì \(\cos\alpha\) âm và \(\sin\alpha\) dương, nên: \[ \cos\alpha = -\frac{2}{\sqrt{5}}, \quad \sin\alpha = \frac{1}{\sqrt{5}} \] hoặc \[ \cos\alpha = -\frac{1}{\sqrt{5}}, \quad \sin\alpha = \frac{2}{\sqrt{5}} \] Do đó, đáp án đúng là: \[ \boxed{d)~\cos\alpha=\frac{-1}{\sqrt5},\sin\alpha=-\frac2{\sqrt5}} \]