giải hết phần này chi tiết giúp mình

Câu 17: Do \(\frac{\pi}{2}<x<\pi\)> 0$. Ta có: \[ \sin^2\beta = 1 - \cos^2\beta = 1 - \left(-\frac{2}{3}\right)^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9} \] Do đó, $\sin\beta = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$. 3. Tính $\sin(\alpha + \beta)$: \[ \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta = \frac{1}{3} \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) + \left(-\frac{2\sqrt{2}}{3}\right) \cdot \frac{\sqrt{5}}{3} \] \[ = -\frac{2}{9} - \frac{2\sqrt{10}}{9} = -\frac{2 + 2\sqrt{10}}{9} \] Vậy, $\sin(\alpha + \beta) = -\frac{2 + 2\sqrt{10}}{9}$. Câu 19: Ta có: \[ C = \tan 3x - \tan x - \frac{2 \sin x}{\cos 3x}. \] Sử dụng công thức $\tan 3x = \frac{\sin 3x}{\cos 3x}$, ta viết lại biểu thức $C$: \[ C = \frac{\sin 3x}{\cos 3x} - \tan x - \frac{2 \sin x}{\cos 3x}. \] Gộp các hạng tử có cùng mẫu số $\cos 3x$: \[ C = \frac{\sin 3x - 2 \sin x}{\cos 3x} - \tan x. \] Sử dụng công thức $\sin 3x = 3 \sin x - 4 \sin^3 x$, ta thay vào biểu thức trên: \[ C = \frac{3 \sin x - 4 \sin^3 x - 2 \sin x}{\cos 3x} - \tan x. \] Rút gọn tử số: \[ C = \frac{\sin x - 4 \sin^3 x}{\cos 3x} - \tan x. \] Viết lại $\tan x$ dưới dạng $\frac{\sin x}{\cos x}$: \[ C = \frac{\sin x - 4 \sin^3 x}{\cos 3x} - \frac{\sin x}{\cos x}. \] Quy đồng mẫu số chung cho hai phân số: \[ C = \frac{(\sin x - 4 \sin^3 x) \cos x - \sin x \cos 3x}{\cos 3x \cos x}. \] Phân tích tử số: \[ (\sin x - 4 \sin^3 x) \cos x - \sin x \cos 3x = \sin x \cos x - 4 \sin^3 x \cos x - \sin x \cos 3x. \] Nhận thấy rằng $\cos 3x = 4 \cos^3 x - 3 \cos x$, ta thay vào biểu thức trên: \[ \sin x \cos x - 4 \sin^3 x \cos x - \sin x (4 \cos^3 x - 3 \cos x). \] Rút gọn: \[ \sin x \cos x - 4 \sin^3 x \cos x - 4 \sin x \cos^3 x + 3 \sin x \cos x. \] Gộp các hạng tử có cùng nhân tử $\sin x \cos x$: \[ 4 \sin x \cos x - 4 \sin^3 x \cos x - 4 \sin x \cos^3 x. \] Nhóm các hạng tử: \[ 4 \sin x \cos x (1 - \sin^2 x - \cos^2 x). \] Sử dụng công thức $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, ta có: \[ 4 \sin x \cos x (1 - 1) = 0. \] Do đó: \[ C = 0. \] Đáp án cuối cùng: \[ C = 0. \] Câu 20: Để giải bài toán này, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính độ dài cạnh AC Tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\), với \(AB = 4\) và \(BC = 3\). Sử dụng định lý Pythagore, ta có: \[ AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \] Bước 2: Tính \(\tan \widehat{BAD}\) Ta có \(\widehat{CAD} = 30^\circ\). Trong tam giác \(ACD\), \(\widehat{ACD} = 180^\circ - \widehat{CAD} = 150^\circ\). Sử dụng định lý sin trong tam giác \(ACD\): \[ \frac{CD}{\sin \widehat{CAD}} = \frac{AC}{\sin \widehat{ACD}} \] \[ \frac{CD}{\sin 30^\circ} = \frac{5}{\sin 150^\circ} \] Vì \(\sin 30^\circ = \sin 150^\circ = \frac{1}{2}\), nên: \[ \frac{CD}{\frac{1}{2}} = \frac{5}{\frac{1}{2}} \] \[ CD = 5 \] Bước 3: Tính \(\tan \widehat{BAD}\) Trong tam giác \(ABD\), ta cần tính \(\tan \widehat{BAD}\). Sử dụng định lý sin trong tam giác \(ABD\): \[ \frac{AD}{\sin \widehat{ABD}} = \frac{AB}{\sin \widehat{BAD}} \] Ta đã biết \(AD = AB + BD = 4 + 5 = 9\). Vì \(\widehat{ABD} = 90^\circ\), nên \(\sin \widehat{ABD} = 1\). \[ \frac{9}{1} = \frac{4}{\sin \widehat{BAD}} \] \[ \sin \widehat{BAD} = \frac{4}{9} \] Sử dụng công thức \(\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\sqrt{1 - \sin^2 \theta}}\): \[ \tan \widehat{BAD} = \frac{\frac{4}{9}}{\sqrt{1 - \left(\frac{4}{9}\right)^2}} = \frac{\frac{4}{9}}{\sqrt{\frac{65}{81}}} = \frac{4}{9} \times \frac{9}{\sqrt{65}} = \frac{4}{\sqrt{65}} \] Vậy \(\tan \widehat{BAD} = \frac{4}{\sqrt{65}}\). Kết luận - \(\tan \widehat{BAD} = \frac{4}{\sqrt{65}}\) - Độ dài cạnh \(CD = 5\)