Cho tôi đáp án câu 1

Câu 1: Để biến đổi các biểu thức thành tổng các tích, chúng ta sẽ sử dụng các công thức lượng giác cơ bản. Dưới đây là lời giải chi tiết cho từng ý: a. Biểu thức: \(2\cos(a+b)\cos(a-b)\) Sử dụng công thức: \[ 2\cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B) \] Với \(A = a+b\) và \(B = a-b\), ta có: \[ 2\cos(a+b)\cos(a-b) = \cos((a+b) + (a-b)) + \cos((a+b) - (a-b)) \] \[ = \cos(2a) + \cos(2b) \] b. Biểu thức: \(\sin(x+30^\circ)\cos(x-30^\circ)\) Sử dụng công thức: \[ \sin A \cos B = \frac{1}{2}[\sin(A+B) + \sin(A-B)] \] Với \(A = x+30^\circ\) và \(B = x-30^\circ\), ta có: \[ \sin(x+30^\circ)\cos(x-30^\circ) = \frac{1}{2}[\sin((x+30^\circ) + (x-30^\circ)) + \sin((x+30^\circ) - (x-30^\circ))] \] \[ = \frac{1}{2}[\sin(2x) + \sin 60^\circ] \] \[ = \frac{1}{2}[\sin(2x) + \frac{\sqrt{3}}{2}] \] c. Biểu thức: \(\sin\frac{\pi}{5}\sin\frac{2\pi}{5}\) Sử dụng công thức: \[ \sin A \sin B = \frac{1}{2}[\cos(A-B) - \cos(A+B)] \] Với \(A = \frac{\pi}{5}\) và \(B = \frac{2\pi}{5}\), ta có: \[ \sin\frac{\pi}{5}\sin\frac{2\pi}{5} = \frac{1}{2}[\cos(\frac{\pi}{5} - \frac{2\pi}{5}) - \cos(\frac{\pi}{5} + \frac{2\pi}{5})] \] \[ = \frac{1}{2}[\cos(-\frac{\pi}{5}) - \cos(\frac{3\pi}{5})] \] \[ = \frac{1}{2}[\cos\frac{\pi}{5} - \cos\frac{3\pi}{5}] \] d. Biểu thức: \(4\sin\frac{13x}{2}\cos x\cos\frac{x}{2}\) Sử dụng công thức: \[ 2\cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B) \] Với \(A = x\) và \(B = \frac{x}{2}\), ta có: \[ 2\cos x \cos\frac{x}{2} = \cos(x + \frac{x}{2}) + \cos(x - \frac{x}{2}) \] \[ = \cos\frac{3x}{2} + \cos\frac{x}{2} \] Do đó: \[ 4\sin\frac{13x}{2}\cos x\cos\frac{x}{2} = 2\sin\frac{13x}{2}(\cos\frac{3x}{2} + \cos\frac{x}{2}) \] Sử dụng công thức: \[ 2\sin A \cos B = \sin(A+B) + \sin(A-B) \] Với \(A = \frac{13x}{2}\) và \(B = \frac{3x}{2}\), ta có: \[ 2\sin\frac{13x}{2}\cos\frac{3x}{2} = \sin(8x) + \sin 5x \] Với \(A = \frac{13x}{2}\) và \(B = \frac{x}{2}\), ta có: \[ 2\sin\frac{13x}{2}\cos\frac{x}{2} = \sin 7x + \sin 6x \] Kết hợp lại: \[ 4\sin\frac{13x}{2}\cos x\cos\frac{x}{2} = \sin 8x + \sin 5x + \sin 7x + \sin 6x \] e. Biểu thức: \(8\cos x\sin 2x\sin 3x\) Sử dụng công thức: \[ 2\sin A \sin B = \cos(A-B) - \cos(A+B) \] Với \(A = 2x\) và \(B = 3x\), ta có: \[ 2\sin 2x \sin 3x = \cos(x) - \cos 5x \] Do đó: \[ 8\cos x\sin 2x\sin 3x = 4\cos x(\cos x - \cos 5x) \] Sử dụng công thức: \[ 2\cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B) \] Với \(A = x\) và \(B = x\), ta có: \[ 2\cos x \cos x = \cos(2x) + \cos(0) = \cos(2x) + 1 \] Với \(A = x\) và \(B = 5x\), ta có: \[ 2\cos x \cos 5x = \cos(6x) + \cos(-4x) = \cos(6x) + \cos 4x \] Kết hợp lại: \[ 8\cos x\sin 2x\sin 3x = 4(\cos(2x) + 1 - \cos(6x) - \cos 4x) \] Trên đây là các bước biến đổi từng biểu thức thành tổng các tích. Câu 2: a. Ta có: \[ A = \cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ \cdot \cos 80^\circ \] Nhân cả hai vế với \( 8 \sin 20^\circ \): \[ 8 \sin 20^\circ \cdot A = 8 \sin 20^\circ \cdot \cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ \cdot \cos 80^\circ \] \[ = 4 \sin 40^\circ \cdot \cos 40^\circ \cdot \cos 80^\circ \] \[ = 2 \sin 80^\circ \cdot \cos 80^\circ \] \[ = \sin 160^\circ \] \[ = \sin 20^\circ \] Do đó: \[ 8 \sin 20^\circ \cdot A = \sin 20^\circ \] \[ 8A = 1 \] \[ A = \frac{1}{8} \] b. Ta có: \[ B = \sin 20^\circ \cdot \sin 40^\circ \cdot \sin 80^\circ \] Nhân cả hai vế với \( 8 \cos 20^\circ \): \[ 8 \cos 20^\circ \cdot B = 8 \cos 20^\circ \cdot \sin 20^\circ \cdot \sin 40^\circ \cdot \sin 80^\circ \] \[ = 4 \sin 40^\circ \cdot \sin 40^\circ \cdot \sin 80^\circ \] \[ = 2 \sin 80^\circ \cdot \sin 80^\circ \] \[ = \sin 160^\circ \] \[ = \sin 20^\circ \] Do đó: \[ 8 \cos 20^\circ \cdot B = \sin 20^\circ \] \[ 8B = 1 \] \[ B = \frac{1}{8} \] c. Ta có: \[ D = \sin \frac{\pi}{18} \cdot \cos \frac{\pi}{9} \cdot \cos \frac{2\pi}{9} \] Nhân cả hai vế với \( 8 \cos \frac{\pi}{18} \): \[ 8 \cos \frac{\pi}{18} \cdot D = 8 \cos \frac{\pi}{18} \cdot \sin \frac{\pi}{18} \cdot \cos \frac{\pi}{9} \cdot \cos \frac{2\pi}{9} \] \[ = 4 \sin \frac{\pi}{9} \cdot \cos \frac{\pi}{9} \cdot \cos \frac{2\pi}{9} \] \[ = 2 \sin \frac{2\pi}{9} \cdot \cos \frac{2\pi}{9} \] \[ = \sin \frac{4\pi}{9} \] \[ = \sin \left( \pi - \frac{5\pi}{9} \right) \] \[ = \sin \frac{5\pi}{9} \] Do đó: \[ 8 \cos \frac{\pi}{18} \cdot D = \sin \frac{5\pi}{9} \] \[ 8D = 1 \] \[ D = \frac{1}{8} \] d. Ta có: \[ E = \frac{1}{\sin 10^\circ} - \frac{\sqrt{3}}{\cos 10^\circ} \] \[ = \frac{\cos 10^\circ - \sqrt{3} \sin 10^\circ}{\sin 10^\circ \cos 10^\circ} \] \[ = \frac{2 \left( \frac{1}{2} \cos 10^\circ - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 10^\circ \right)}{\sin 10^\circ \cos 10^\circ} \] \[ = \frac{2 \left( \cos 60^\circ \cos 10^\circ - \sin 60^\circ \sin 10^\circ \right)}{\sin 10^\circ \cos 10^\circ} \] \[ = \frac{2 \cos (60^\circ + 10^\circ)}{\sin 10^\circ \cos 10^\circ} \] \[ = \frac{2 \cos 70^\circ}{\sin 10^\circ \cos 10^\circ} \] \[ = \frac{2 \sin 20^\circ}{\sin 10^\circ \cos 10^\circ} \] \[ = \frac{4 \sin 20^\circ}{2 \sin 10^\circ \cos 10^\circ} \] \[ = \frac{4 \sin 20^\circ}{\sin 20^\circ} \] \[ = 4 \] Câu 3: Ta có: \[ B = \sin(a + b) \cdot \sin(a - b) = (\sin a \cos b + \cos a \sin b)(\sin a \cos b - \cos a \sin b) \] \[ = (\sin a \cos b)^2 - (\cos a \sin b)^2 \] \[ = \sin^2 a \cos^2 b - \cos^2 a \sin^2 b \] \[ = \sin^2 a (1 - \sin^2 b) - (1 - \sin^2 a) \sin^2 b \] \[ = \sin^2 a - \sin^2 a \sin^2 b - \sin^2 b + \sin^2 a \sin^2 b \] \[ = \sin^2 a - \sin^2 b \] Thay \(\sin a = \dfrac{2}{3}\) và \(\sin b = \dfrac{5}{9}\) vào ta được: \[ B = \left( \dfrac{2}{3} \right)^2 - \left( \dfrac{5}{9} \right)^2 = \dfrac{4}{9} - \dfrac{25}{81} = \dfrac{11}{81}. \] Câu 4: Để tính giá trị của \( P = \sin \frac{\alpha}{2} \cdot \cos \frac{3\alpha}{2} \) với điều kiện \(\cos \alpha = -\frac{4}{5}\) và \(\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định dấu của các hàm lượng giác Do \(\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}\), suy ra \(\frac{\pi}{2} < \frac{\alpha}{2} < \frac{3\pi}{4}\). Điều này cho thấy \(\sin \frac{\alpha}{2}\) dương và \(\cos \frac{\alpha}{2}\) âm. Bước 2: Tìm \(\sin \alpha\) từ \(\cos \alpha\) Ta biết rằng: \[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \] Thay \(\cos \alpha = -\frac{4}{5}\): \[ \sin^2 \alpha + \left(-\frac{4}{5}\right)^2 = 1 \implies \sin^2 \alpha + \frac{16}{25} = 1 \implies \sin^2 \alpha = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25} \] Vì \(\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}\), \(\sin \alpha\) âm: \[ \sin \alpha = -\frac{3}{5} \] Bước 3: Sử dụng công thức nửa góc để tìm \(\sin \frac{\alpha}{2}\) Công thức nửa góc cho \(\sin \frac{\alpha}{2}\) là: \[ \sin \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{2}} \] Thay \(\cos \alpha = -\frac{4}{5}\): \[ \sin \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 - \left(-\frac{4}{5}\right)}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{4}{5}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{9}{5}}{2}} = \sqrt{\frac{9}{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{10} \] Bước 4: Sử dụng công thức cộng để tìm \(\cos \frac{3\alpha}{2}\) Công thức cộng cho \(\cos \frac{3\alpha}{2}\) là: \[ \cos \frac{3\alpha}{2} = \cos \left( \alpha + \frac{\alpha}{2} \right) = \cos \alpha \cos \frac{\alpha}{2} - \sin \alpha \sin \frac{\alpha}{2} \] Ta đã biết \(\cos \alpha = -\frac{4}{5}\), \(\sin \alpha = -\frac{3}{5}\), và \(\sin \frac{\alpha}{2} = \frac{3\sqrt{10}}{10}\). Bây giờ, ta cần tìm \(\cos \frac{\alpha}{2}\): \[ \cos \frac{\alpha}{2} = -\sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{2}} = -\sqrt{\frac{1 - \frac{4}{5}}{2}} = -\sqrt{\frac{\frac{1}{5}}{2}} = -\sqrt{\frac{1}{10}} = -\frac{1}{\sqrt{10}} = -\frac{\sqrt{10}}{10} \] Thay vào công thức cộng: \[ \cos \frac{3\alpha}{2} = \left(-\frac{4}{5}\right) \left(-\frac{\sqrt{10}}{10}\right) - \left(-\frac{3}{5}\right) \left(\frac{3\sqrt{10}}{10}\right) \] \[ = \frac{4\sqrt{10}}{50} + \frac{9\sqrt{10}}{50} = \frac{13\sqrt{10}}{50} \] Bước 5: Tính \(P\) \[ P = \sin \frac{\alpha}{2} \cdot \cos \frac{3\alpha}{2} = \left(\frac{3\sqrt{10}}{10}\right) \left(\frac{13\sqrt{10}}{50}\right) = \frac{39 \cdot 10}{500} = \frac{390}{500} = \frac{39}{50} \] Vậy, giá trị của \(P\) là: \[ \boxed{\frac{39}{50}} \] Câu 4: Ta có: \[ P = \sin \left( a + \frac{\pi}{6} \right) \sin \left( a - \frac{\pi}{6} \right) \] Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng: \[ \sin A \sin B = \frac{1}{2} [\cos (A - B) - \cos (A + B)] \] Áp dụng vào bài toán: \[ P = \frac{1}{2} \left[ \cos \left( \left( a + \frac{\pi}{6} \right) - \left( a - \frac{\pi}{6} \right) \right) - \cos \left( \left( a + \frac{\pi}{6} \right) + \left( a - \frac{\pi}{6} \right) \right) \right] \] \[ P = \frac{1}{2} \left[ \cos \left( \frac{\pi}{3} \right) - \cos (2a) \right] \] Biết rằng: \[ \cos \left( \frac{\pi}{3} \right) = \frac{1}{2} \] Do đó: \[ P = \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{2} - \cos (2a) \right] \] \[ P = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \cos (2a) \] Tiếp theo, ta cần tính \(\cos (2a)\). Ta biết rằng: \[ \cos (2a) = 1 - 2 \sin^2 a \] Với \(\sin a = \frac{3}{5}\): \[ \sin^2 a = \left( \frac{3}{5} \right)^2 = \frac{9}{25} \] \[ \cos (2a) = 1 - 2 \cdot \frac{9}{25} = 1 - \frac{18}{25} = \frac{7}{25} \] Thay vào biểu thức của \(P\): \[ P = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{7}{25} \] \[ P = \frac{1}{4} - \frac{7}{50} \] \[ P = \frac{25}{100} - \frac{14}{100} \] \[ P = \frac{11}{100} \] Vậy giá trị của \(P\) là: \[ P = \frac{11}{100} \] Câu 6: Ta có: \[ P = \sin(a+b)\sin(a-b) + \sin(b+c)\sin(b-c) + \sin(c+a)\sin(c-a) \] Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng: \[ \sin A \sin B = \frac{1}{2} [\cos(A-B) - \cos(A+B)] \] Áp dụng công thức này vào từng hạng tử của \( P \): 1. \( \sin(a+b)\sin(a-b) = \frac{1}{2} [\cos((a+b)-(a-b)) - \cos((a+b)+(a-b))] \) \[ = \frac{1}{2} [\cos(2b) - \cos(2a)] \] 2. \( \sin(b+c)\sin(b-c) = \frac{1}{2} [\cos((b+c)-(b-c)) - \cos((b+c)+(b-c))] \) \[ = \frac{1}{2} [\cos(2c) - \cos(2b)] \] 3. \( \sin(c+a)\sin(c-a) = \frac{1}{2} [\cos((c+a)-(c-a)) - \cos((c+a)+(c-a))] \) \[ = \frac{1}{2} [\cos(2a) - \cos(2c)] \] Cộng lại ta có: \[ P = \frac{1}{2} [\cos(2b) - \cos(2a)] + \frac{1}{2} [\cos(2c) - \cos(2b)] + \frac{1}{2} [\cos(2a) - \cos(2c)] \] Nhóm các hạng tử lại: \[ P = \frac{1}{2} (\cos(2b) - \cos(2a) + \cos(2c) - \cos(2b) + \cos(2a) - \cos(2c)) \] Rút gọn: \[ P = \frac{1}{2} (0) = 0 \] Vậy giá trị của biểu thức \( P \) là 0. Câu 7: Ta có: \[ B = \cos^2(a+x) + \cos^2x - 2\cos a\cos x\cos(a+x) \] Sử dụng công thức $\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$, ta có: \[ \cos(a+x) = \cos a \cos x - \sin a \sin x \] Thay vào biểu thức $B$, ta được: \[ B = (\cos a \cos x - \sin a \sin x)^2 + \cos^2x - 2\cos a\cos x(\cos a \cos x - \sin a \sin x) \] Mở rộng và rút gọn: \[ B = \cos^2a \cos^2x - 2\cos a \cos x \sin a \sin x + \sin^2a \sin^2x + \cos^2x - 2\cos^2a \cos^2x + 2\cos a \cos x \sin a \sin x \] Nhóm các hạng tử giống nhau: \[ B = \cos^2a \cos^2x - 2\cos^2a \cos^2x + \sin^2a \sin^2x + \cos^2x \] \[ B = -\cos^2a \cos^2x + \sin^2a \sin^2x + \cos^2x \] Sử dụng công thức $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$: \[ B = -\cos^2a \cos^2x + (1 - \cos^2a)(1 - \cos^2x) + \cos^2x \] \[ B = -\cos^2a \cos^2x + 1 - \cos^2x - \cos^2a + \cos^2a \cos^2x + \cos^2x \] Rút gọn: \[ B = 1 - \cos^2a \] Vậy, biểu thức $B$ đã được rút gọn thành: \[ B = 1 - \cos^2a \] Câu 8: Ta có: $P=\sin4x.\sin10x-\sin11x.\sin3x-\sin7x.\sin x$ $=\frac{1}{2}(\cos6x-\cos14x)-\frac{1}{2}(\cos8x-\cos14x)-\frac{1}{2}(\cos6x-\cos8x)$ $=\frac{1}{2}\cos6x-\frac{1}{2}\cos14x-\frac{1}{2}\cos8x+\frac{1}{2}\cos14x-\frac{1}{2}\cos6x+\frac{1}{2}\cos8x=0$ Như vậy, biểu thức P không phụ thuộc vào x.