Tính giới hạn. a) Tính giới hạn:,$\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sqrt{4+4x}-\sqrt[3]{8+12x}+1-\cos x}{\sqrt{3x^2+4}-2}.$

Question

Accepted Answer

Để tính giới hạn $\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sqrt{4+4x}-\sqrt[3]{8+12x}+1-\cos x}{\sqrt{3x^2+4}-2}$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Nhận dạng và đơn giản hóa tử số và mẫu số:
   - Tử số: $\sqrt{4+4x} - \sqrt[3]{8+12x} + 1 - \cos x$
   - Mẫu số: $\sqrt{3x^2+4} - 2$

2. Phân tích từng phần trong tử số:
   - $\sqrt{4+4x}$:
     $$
     \sqrt{4+4x} = \sqrt{4(1+x)} = 2\sqrt{1+x}
     $$
     Khi $x \to 0$, $\sqrt{1+x} \approx 1 + \frac{x}{2}$ (sử dụng công thức gần đúng Taylor).
     $$
     \sqrt{4+4x} \approx 2\left(1 + \frac{x}{2}\right) = 2 + x
     $$

- $\sqrt[3]{8+12x}$:
     $$
     \sqrt[3]{8+12x} = \sqrt[3]{8(1+\frac{3x}{2})} = 2\sqrt[3]{1+\frac{3x}{2}}
     $$
     Khi $x \to 0$, $\sqrt[3]{1+\frac{3x}{2}} \approx 1 + \frac{x}{2}$ (sử dụng công thức gần đúng Taylor).
     $$
     \sqrt[3]{8+12x} \approx 2\left(1 + \frac{x}{2}\right) = 2 + x
     $$

- $1 - \cos x$:
     Khi $x \to 0$, $\cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2}$.
     $$
     1 - \cos x \approx 1 - \left(1 - \frac{x^2}{2}\right) = \frac{x^2}{2}
     $$

3. Thay các giá trị gần đúng vào tử số:
   $$
   \sqrt{4+4x} - \sqrt[3]{8+12x} + 1 - \cos x \approx (2 + x) - (2 + x) + \frac{x^2}{2} = \frac{x^2}{2}
   $$

4. Phân tích mẫu số:
   $$
   \sqrt{3x^2+4} - 2
   $$
   Khi $x \to 0$, $\sqrt{3x^2+4} \approx \sqrt{4 + 3x^2} \approx 2 + \frac{3x^2}{4}$ (sử dụng công thức gần đúng Taylor).
   $$
   \sqrt{3x^2+4} - 2 \approx \left(2 + \frac{3x^2}{4}\right) - 2 = \frac{3x^2}{4}
   $$

5. Thay các giá trị gần đúng vào giới hạn:
   $$
   \lim_{x\rightarrow0}\frac{\sqrt{4+4x}-\sqrt[3]{8+12x}+1-\cos x}{\sqrt{3x^2+4}-2} = \lim_{x\rightarrow0}\frac{\frac{x^2}{2}}{\frac{3x^2}{4}} = \lim_{x\rightarrow0}\frac{x^2/2}{3x^2/4} = \lim_{x\rightarrow0}\frac{2}{3} = \frac{2}{3}
   $$

Vậy, giá trị của giới hạn là:
$$
\boxed{\frac{2}{3}}
$$