làm giúp mình vd3 với VD3. Tìm Max - Min của các hàm so: $d.~y=\frac{x^2-1}x$ $(0;4]$,$c.~y=x^3-3x+3,~x\in[-3;2)$ trên,$a.~y=4x^3-3x^4-1$ $b.~y=-x^2-4x+1$,$f.~y=x^3-3x^2-8$ $(1;4)$ $g.f(x)=x+\frac1x$ trên $(0;+\infty)$,$e.~y=x^2+\frac2x$ $(0;+\infty)$ trên,trên

Question

Accepted Answer

Giải quyết các bài toán tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN):

a. $ y = 4x^3 - 3x^4 - 1 $

1. Tìm đạo hàm:
   $$
   y&#x27; = 12x^2 - 12x^3
   $$
2. Giải phương trình $ y&#x27; = 0 $:
   $$
   12x^2 - 12x^3 = 0 \implies 12x^2(1 - x) = 0 \implies x = 0 \text{ hoặc } x = 1
   $$
3. Kiểm tra giá trị tại các điểm tới hạn và giới hạn khoảng:
   - Tại $ x = 0 $:
     $$
     y(0) = 4(0)^3 - 3(0)^4 - 1 = -1
     $$
   - Tại $ x = 1 $:
     $$
     y(1) = 4(1)^3 - 3(1)^4 - 1 = 4 - 3 - 1 = 0
     $$

Vậy, giá trị lớn nhất của hàm số là $ 0 $ đạt được khi $ x = 1 $.

b. $ y = -x^2 - 4x + 1 $

1. Tìm đạo hàm:
   $$
   y&#x27; = -2x - 4
   $$
2. Giải phương trình $ y&#x27; = 0 $:
   $$
   -2x - 4 = 0 \implies x = -2
   $$
3. Kiểm tra giá trị tại các điểm tới hạn và giới hạn khoảng:
   - Tại $ x = -2 $:
     $$
     y(-2) = -(-2)^2 - 4(-2) + 1 = -4 + 8 + 1 = 5
     $$

Vậy, giá trị lớn nhất của hàm số là $ 5 $ đạt được khi $ x = -2 $.

c. $ y = x^3 - 3x + 3 $ trên $[-3; 2)$

1. Tìm đạo hàm:
   $$
   y&#x27; = 3x^2 - 3
   $$
2. Giải phương trình $ y&#x27; = 0 $:
   $$
   3x^2 - 3 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = 1 \text{ hoặc } x = -1
   $$
3. Kiểm tra giá trị tại các điểm tới hạn và giới hạn khoảng:
   - Tại $ x = -1 $:
     $$
     y(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 3 = -1 + 3 + 3 = 5
     $$
   - Tại $ x = 1 $:
     $$
     y(1) = (1)^3 - 3(1) + 3 = 1 - 3 + 3 = 1
     $$
   - Tại $ x = -3 $:
     $$
     y(-3) = (-3)^3 - 3(-3) + 3 = -27 + 9 + 3 = -15
     $$

Vậy, giá trị lớn nhất của hàm số là $ 5 $ đạt được khi $ x = -1 $.

d. $ y = \frac{x^2 - 1}{x} $ trên $(0; 4]$

1. Rút gọn hàm số:
   $$
   y = \frac{x^2 - 1}{x} = x - \frac{1}{x}
   $$
2. Tìm đạo hàm:
   $$
   y&#x27; = 1 + \frac{1}{x^2}
   $$
3. Giải phương trình $ y&#x27; = 0 $:
   $$
   1 + \frac{1}{x^2} = 0 \implies \frac{1}{x^2} = -1 \quad (\text{không có nghiệm thực})
   $$
4. Kiểm tra giá trị tại các điểm tới hạn và giới hạn khoảng:
   - Tại $ x = 4 $:
     $$
     y(4) = 4 - \frac{1}{4} = 4 - 0.25 = 3.75
     $$
   - Khi $ x \to 0^+ $:
     $$
     y \to -\infty
     $$

Vậy, giá trị lớn nhất của hàm số là $ 3.75 $ đạt được khi $ x = 4 $.

e. $ y = x^2 + \frac{2}{x} $ trên $(0; +\infty)$

1. Tìm đạo hàm:
   $$
   y&#x27; = 2x - \frac{2}{x^2}
   $$
2. Giải phương trình $ y&#x27; = 0 $:
   $$
   2x - \frac{2}{x^2} = 0 \implies 2x^3 = 2 \implies x^3 = 1 \implies x = 1
   $$
3. Kiểm tra giá trị tại các điểm tới hạn:
   - Tại $ x = 1 $:
     $$
     y(1) = 1^2 + \frac{2}{1} = 1 + 2 = 3
     $$

Vậy, giá trị lớn nhất của hàm số là $ 3 $ đạt được khi $ x = 1 $.

f. $ y = x^3 - 3x^2 - 8 $ trên $(1; 4)$

1. Tìm đạo hàm:
   $$
   y&#x27; = 3x^2 - 6x
   $$
2. Giải phương trình $ y&#x27; = 0 $:
   $$
   3x^2 - 6x = 0 \implies 3x(x - 2) = 0 \implies x = 0 \text{ hoặc } x = 2
   $$
3. Kiểm tra giá trị tại các điểm tới hạn và giới hạn khoảng:
   - Tại $ x = 2 $:
     $$
     y(2) = 2^3 - 3(2)^2 - 8 = 8 - 12 - 8 = -12
     $$
   - Tại $ x = 1 $:
     $$
     y(1) = 1^3 - 3(1)^2 - 8 = 1 - 3 - 8 = -10
     $$
   - Tại $ x = 4 $:
     $$
     y(4) = 4^3 - 3(4)^2 - 8 = 64 - 48 - 8 = 8
     $$

Vậy, giá trị lớn nhất của hàm số là $ 8 $ đạt được khi $ x = 4 $.

g. $ f(x) = x + \frac{1}{x} $ trên $(0; +\infty)$

1. Tìm đạo hàm:
   $$
   f&#x27;(x) = 1 - \frac{1}{x^2}
   $$
2. Giải phương trình $ f&#x27;(x) = 0 $:
   $$
   1 - \frac{1}{x^2} = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = 1
   $$
3. Kiểm tra giá trị tại các điểm tới hạn:
   - Tại $ x = 1 $:
     $$
     f(1) = 1 + \frac{1}{1} = 2
     $$

Vậy, giá trị lớn nhất của hàm số là $ 2 $ đạt được khi $ x = 1 $.