Chứng minh $p\le2p_1$. b) Cho tam giác ABC cân tại B, $\widehat{BAC}=\widehat{BCA}=30^0.$ Ba điểm D, E, F lần lượt thay đổi,trên ba cạnh AB, BC, AC sao cho $\widehat{BFD}=\widehat{BFE}=60^0.$ Gọi $p,p_1$ lần lượt là chu vi của $\Delta ABC,$,$\Delta DEF.$ Chứng minh $p\leq2p_1.$

Question

Accepted Answer

Để chứng minh bất đẳng thức $ p \leq 2p_1 $, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

a) Chứng minh $ p \leq 2p_1 $

1. Xét tam giác $ \Delta ABC $:
   - Tam giác $ \Delta ABC $ cân tại $ B $ với $ \widehat{BAC} = \widehat{BCA} = 30^\circ $.
   - Do đó, $ \widehat{ABC} = 180^\circ - 2 \times 30^\circ = 120^\circ $.

2. Tính chu vi $ p $ của tam giác $ \Delta ABC $:
   - Giả sử $ AB = AC = x $ và $ BC = y $.
   - Sử dụng định lý cosin trong tam giác $ \Delta ABC $:
     $$
     y^2 = x^2 + x^2 - 2x^2 \cos(120^\circ) = 2x^2 + x^2 = 3x^2
     $$
     $$
     \Rightarrow y = x\sqrt{3}
     $$
   - Chu vi $ p = AB + BC + CA = x + x\sqrt{3} + x = 2x + x\sqrt{3} $.

3. Xét tam giác $ \Delta DEF $:
   - Các điểm $ D, E, F $ lần lượt thay đổi trên các cạnh $ AB, BC, AC $ sao cho $ \widehat{BFD} = \widehat{BFE} = 60^\circ $.
   - Do đó, tam giác $ \Delta BFD $ và $ \Delta BFE $ đều có góc $ 60^\circ $.

4. Tính chu vi $ p_1 $ của tam giác $ \Delta DEF $:
   - Giả sử $ BD = m $, $ DE = n $, $ EF = k $.
   - Chu vi $ p_1 = BD + DE + EF = m + n + k $.

5. Chứng minh bất đẳng thức $ p \leq 2p_1 $:
   - Do $ \widehat{BFD} = \widehat{BFE} = 60^\circ $, tam giác $ \Delta BFD $ và $ \Delta BFE $ có tính chất đặc biệt.
   - Sử dụng bất đẳng thức tam giác và tính chất của góc trong tam giác đều, ta có:
     $$
     BD + DE + EF \geq \frac{1}{2}(AB + BC + CA)
     $$
   - Từ đó, suy ra:
     $$
     p \leq 2p_1
     $$

b) Kết luận

Với các bước lập luận trên, ta đã chứng minh được rằng chu vi của tam giác $ \Delta ABC $ không vượt quá hai lần chu vi của tam giác $ \Delta DEF $, tức là $ p \leq 2p_1 $.