Câu $\rm 6$.

Câu 6: Để giải bài toán này, ta cần tìm số cách tô màu các đỉnh của một đa giác lồi 10 đỉnh sao cho không có hai đỉnh liền kề nào cùng màu đỏ. Ta sẽ sử dụng phương pháp đệ quy để giải quyết vấn đề này. Gọi \( a_n \) là số cách tô màu các đỉnh của một đa giác lồi \( n \) đỉnh sao cho không có hai đỉnh liền kề nào cùng màu đỏ. Bước 1: Xác định công thức đệ quy - Trường hợp 1: Đỉnh đầu tiên được tô màu xanh. Khi đó, \( n-1 \) đỉnh còn lại có thể được tô màu theo quy tắc không có hai đỉnh liền kề nào cùng màu đỏ. Số cách tô màu trong trường hợp này là \( a_{n-1} \). - Trường hợp 2: Đỉnh đầu tiên được tô màu đỏ. Khi đó, đỉnh thứ hai phải được tô màu xanh. Số cách tô màu cho \( n-2 \) đỉnh còn lại (bắt đầu từ đỉnh thứ ba) cũng phải tuân theo quy tắc không có hai đỉnh liền kề nào cùng màu đỏ. Số cách tô màu trong trường hợp này là \( a_{n-2} \). Từ hai trường hợp trên, ta có công thức đệ quy: \[ a_n = a_{n-1} + a_{n-2} \] Bước 2: Xác định điều kiện ban đầu - Với \( n = 1 \): Chỉ có một đỉnh, có 2 cách tô màu (xanh hoặc đỏ), do đó \( a_1 = 2 \). - Với \( n = 2 \): Có hai đỉnh, không được tô cả hai đỉnh màu đỏ, nên có 3 cách tô màu: (xanh, xanh), (xanh, đỏ), (đỏ, xanh). Do đó, \( a_2 = 3 \). Bước 3: Tính \( a_{10} \) Sử dụng công thức đệ quy và điều kiện ban đầu, ta tính dần các giá trị: - \( a_3 = a_2 + a_1 = 3 + 2 = 5 \) - \( a_4 = a_3 + a_2 = 5 + 3 = 8 \) - \( a_5 = a_4 + a_3 = 8 + 5 = 13 \) - \( a_6 = a_5 + a_4 = 13 + 8 = 21 \) - \( a_7 = a_6 + a_5 = 21 + 13 = 34 \) - \( a_8 = a_7 + a_6 = 34 + 21 = 55 \) - \( a_9 = a_8 + a_7 = 55 + 34 = 89 \) - \( a_{10} = a_9 + a_8 = 89 + 55 = 144 \) Vậy, có 144 cách tô màu các đỉnh của đa giác lồi 10 đỉnh sao cho không có hai đỉnh liền kề nào cùng màu đỏ.