Giúp mình với!

Câu 1: Để xét tính đúng sai của các mệnh đề, ta sẽ lần lượt kiểm tra từng mệnh đề một cách chi tiết. Mệnh đề a: $\overrightarrow a \bot \overrightarrow c$. Hai vectơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow c$ vuông góc khi và chỉ khi tích vô hướng của chúng bằng 0. Ta có: \[ \overrightarrow a \cdot \overrightarrow c = 3 \cdot 2 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) = 6 + 0 - 1 = 5 \] Vì $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow c \neq 0$, nên $\overrightarrow a$ không vuông góc với $\overrightarrow c$. Do đó, mệnh đề a là sai. Mệnh đề b: $\cos(\overrightarrow a, \overrightarrow b) = \frac{\sqrt{15}}{30}$. Công thức tính cosin của góc giữa hai vectơ là: \[ \cos(\overrightarrow a, \overrightarrow b) = \frac{\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b}{|\overrightarrow a| \cdot |\overrightarrow b|} \] Tính tích vô hướng $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b$: \[ \overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = 3 \cdot 1 + 0 \cdot (-1) + 1 \cdot (-2) = 3 + 0 - 2 = 1 \] Tính độ dài của $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$: \[ |\overrightarrow a| = \sqrt{3^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 0 + 1} = \sqrt{10} \] \[ |\overrightarrow b| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6} \] Do đó: \[ \cos(\overrightarrow a, \overrightarrow b) = \frac{1}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{60}} = \frac{1}{2\sqrt{15}} \] Rút gọn: \[ \cos(\overrightarrow a, \overrightarrow b) = \frac{\sqrt{15}}{30} \] Vậy mệnh đề b là đúng. Mệnh đề c: Vectơ $\overrightarrow a$ cùng phương với vectơ $\overrightarrow d = (6;2;2)$. Hai vectơ cùng phương khi và chỉ khi tồn tại một số thực $k$ sao cho $\overrightarrow d = k \overrightarrow a$. Ta có: \[ \overrightarrow a = (3;0;1), \quad \overrightarrow d = (6;2;2) \] Xét tỉ lệ các thành phần: \[ \frac{6}{3} = 2, \quad \frac{2}{0} \text{ (không xác định)}, \quad \frac{2}{1} = 2 \] Vì tỉ lệ thứ hai không xác định, nên không tồn tại $k$ sao cho $\overrightarrow d = k \overrightarrow a$. Do đó, mệnh đề c là sai. Mệnh đề d: $|\overrightarrow a - \overrightarrow b| = \sqrt{14}$. Tính $\overrightarrow a - \overrightarrow b$: \[ \overrightarrow a - \overrightarrow b = (3 - 1, 0 - (-1), 1 - (-2)) = (2, 1, 3) \] Tính độ dài của $\overrightarrow a - \overrightarrow b$: \[ |\overrightarrow a - \overrightarrow b| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 1 + 9} = \sqrt{14} \] Vậy mệnh đề d là đúng. Tóm lại, các mệnh đề đúng là b và d. Câu 2: Để xét tính đúng sai của các mệnh đề, ta sẽ lần lượt kiểm tra từng mệnh đề một cách chi tiết. a) Tọa độ trọng tâm G của $\Delta ABC$ là $(-\frac{1}{2};3;\frac{7}{2})$. Trọng tâm $G$ của tam giác $\Delta ABC$ có tọa độ được tính bằng công thức: \[ G\left(\frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + y_C}{3}, \frac{z_A + z_B + z_C}{3}\right) \] Thay tọa độ các điểm $A(1;2;-1)$, $B(2;-1;3)$, $C(-4;7;5)$ vào công thức trên, ta có: \[ G\left(\frac{1 + 2 - 4}{3}, \frac{2 - 1 + 7}{3}, \frac{-1 + 3 + 5}{3}\right) = G\left(\frac{-1}{3}, \frac{8}{3}, \frac{7}{3}\right) \] Vậy tọa độ trọng tâm $G$ là $\left(-\frac{1}{3}; \frac{8}{3}; \frac{7}{3}\right)$, không phải $(-\frac{1}{2};3;\frac{7}{2})$. Do đó, mệnh đề a) là sai. b) $\cos \angle ABC = -\frac{11}{26}$. Để tính $\cos \angle ABC$, ta cần tính các vector $\overrightarrow{BA}$ và $\overrightarrow{BC}$: - $\overrightarrow{BA} = (1 - 2; 2 + 1; -1 - 3) = (-1; 3; -4)$ - $\overrightarrow{BC} = (-4 - 2; 7 + 1; 5 - 3) = (-6; 8; 2)$ Tính tích vô hướng của hai vector: \[ \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = (-1)(-6) + 3 \cdot 8 + (-4) \cdot 2 = 6 + 24 - 8 = 22 \] Tính độ dài của hai vector: \[ |\overrightarrow{BA}| = \sqrt{(-1)^2 + 3^2 + (-4)^2} = \sqrt{1 + 9 + 16} = \sqrt{26} \] \[ |\overrightarrow{BC}| = \sqrt{(-6)^2 + 8^2 + 2^2} = \sqrt{36 + 64 + 4} = \sqrt{104} = 2\sqrt{26} \] Tính $\cos \angle ABC$: \[ \cos \angle ABC = \frac{\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BA}| \cdot |\overrightarrow{BC}|} = \frac{22}{\sqrt{26} \cdot 2\sqrt{26}} = \frac{22}{52} = \frac{11}{26} \] Vậy $\cos \angle ABC = \frac{11}{26}$, không phải $-\frac{11}{26}$. Do đó, mệnh đề b) là sai. c) Chu vi $\Delta ABC$ bằng $\sqrt{86} + 3\sqrt{26}$. Tính độ dài các cạnh của tam giác: - $AB = \sqrt{(2 - 1)^2 + (-1 - 2)^2 + (3 + 1)^2} = \sqrt{1 + 9 + 16} = \sqrt{26}$ - $BC = \sqrt{(-4 - 2)^2 + (7 + 1)^2 + (5 - 3)^2} = \sqrt{36 + 64 + 4} = \sqrt{104} = 2\sqrt{26}$ - $CA = \sqrt{(-4 - 1)^2 + (7 - 2)^2 + (5 + 1)^2} = \sqrt{25 + 25 + 36} = \sqrt{86}$ Chu vi $\Delta ABC$ là: \[ AB + BC + CA = \sqrt{26} + 2\sqrt{26} + \sqrt{86} = 3\sqrt{26} + \sqrt{86} \] Vậy mệnh đề c) là đúng. d) Tọa độ điểm D để ABCD là hình bình hành là $(-5;10;1)$. Để $ABCD$ là hình bình hành, ta cần $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$. Tính $\overrightarrow{AB}$: \[ \overrightarrow{AB} = (2 - 1; -1 - 2; 3 + 1) = (1; -3; 4) \] Giả sử $D(x_D; y_D; z_D)$, ta có: \[ \overrightarrow{CD} = (x_D + 4; y_D - 7; z_D - 5) \] Để $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$, ta có hệ phương trình: \[ x_D + 4 = 1 \] \[ y_D - 7 = -3 \] \[ z_D - 5 = 4 \] Giải hệ phương trình: \[ x_D = 1 - 4 = -3 \] \[ y_D = -3 + 7 = 4 \] \[ z_D = 4 + 5 = 9 \] Vậy tọa độ điểm $D$ là $(-3; 4; 9)$, không phải $(-5; 10; 1)$. Do đó, mệnh đề d) là sai. Tóm lại, chỉ có mệnh đề c) là đúng. Câu 3: Để xét tính đúng sai của các mệnh đề, ta sẽ lần lượt kiểm tra từng mệnh đề một cách chi tiết. a) Khoảng cách giữa hai điểm A và C bằng 2. Khoảng cách giữa hai điểm $A(x_1, y_1, z_1)$ và $C(x_2, y_2, z_2)$ trong không gian được tính theo công thức: \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \] Với $A(1, 2, 0)$ và $C(1, 1, 1)$, ta có: \[ d = \sqrt{(1 - 1)^2 + (1 - 2)^2 + (1 - 0)^2} = \sqrt{0 + 1 + 1} = \sqrt{2} \] Vậy khoảng cách giữa hai điểm A và C không bằng 2. Mệnh đề a) sai. b) Trung điểm I của cạnh BC là $I(2;0;1)$. Trung điểm $I(x, y, z)$ của đoạn thẳng nối hai điểm $B(x_1, y_1, z_1)$ và $C(x_2, y_2, z_2)$ được tính theo công thức: \[ I\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}, \frac{z_1 + z_2}{2}\right) \] Với $B(3, -1, 1)$ và $C(1, 1, 1)$, ta có: \[ I\left(\frac{3 + 1}{2}, \frac{-1 + 1}{2}, \frac{1 + 1}{2}\right) = I(2, 0, 1) \] Vậy trung điểm I của cạnh BC là $I(2, 0, 1)$. Mệnh đề b) đúng. c) Tích vô hướng $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=-2.$ Tính các vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$: \[ \overrightarrow{AB} = (3 - 1, -1 - 2, 1 - 0) = (2, -3, 1) \] \[ \overrightarrow{AC} = (1 - 1, 1 - 2, 1 - 0) = (0, -1, 1) \] Tích vô hướng $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ được tính bằng: \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 2 \cdot 0 + (-3) \cdot (-1) + 1 \cdot 1 = 0 + 3 + 1 = 4 \] Vậy tích vô hướng $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ không bằng $-2$. Mệnh đề c) sai. d) Tam giác ABC vuông tại A. Để tam giác ABC vuông tại A, cần có $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 0$. Như đã tính ở trên, $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 4 \neq 0$. Do đó, tam giác ABC không vuông tại A. Mệnh đề d) sai. Tóm lại: - Mệnh đề a) sai. - Mệnh đề b) đúng. - Mệnh đề c) sai. - Mệnh đề d) sai.