Giúp mình với!

Câu 1: Để giải bài toán này, ta cần tìm tọa độ điểm \( H(a; b; c) \) là chân đường cao hạ từ \( A \) của tam giác \( \Delta ABC \). Bước 1: Tìm phương trình mặt phẳng \((P)\) chứa \( B, C \) và vuông góc với \( AH \). Vì \( H \) là chân đường cao từ \( A \) nên \( AH \) vuông góc với mặt phẳng \((P)\) chứa \( B \) và \( C \). Do đó, mặt phẳng \((P)\) có véc-tơ pháp tuyến là véc-tơ \( \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} \). Tính các véc-tơ: \[ \overrightarrow{AB} = (1 - 2; -1 + 1; 2 - 1) = (-1; 0; 1) \] \[ \overrightarrow{AC} = (3 - 2; 0 + 1; 3 - 1) = (1; 1; 2) \] Tích có hướng: \[ \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 2 - 1 \cdot 1) - \mathbf{j}(-1 \cdot 2 - 1 \cdot 1) + \mathbf{k}(-1 \cdot 1 - 0 \cdot 1) \] \[ = -\mathbf{i} + 3\mathbf{j} - \mathbf{k} = (-1; 3; -1) \] Phương trình mặt phẳng \((P)\) đi qua \( B(1; -1; 2) \) có dạng: \[ -1(x - 1) + 3(y + 1) - 1(z - 2) = 0 \] \[ -x + 3y - z + 1 + 3 - 2 = 0 \] \[ -x + 3y - z + 2 = 0 \] Bước 2: Tìm tọa độ điểm \( H \). Vì \( H \) thuộc đường thẳng \( AH \) và mặt phẳng \((P)\), ta có: - \( H \) thuộc đường thẳng \( AH \) nên \( \overrightarrow{AH} \) song song với véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\), tức là: \[ \overrightarrow{AH} = k(-1; 3; -1) \] Với \( H(a; b; c) \), ta có: \[ a = 2 - k, \quad b = -1 + 3k, \quad c = 1 - k \] - \( H \) thuộc mặt phẳng \((P)\): \[ -a + 3b - c + 2 = 0 \] Thay \( a = 2 - k \), \( b = -1 + 3k \), \( c = 1 - k \) vào phương trình mặt phẳng: \[ -(2 - k) + 3(-1 + 3k) - (1 - k) + 2 = 0 \] \[ -2 + k - 3 + 9k - 1 + k + 2 = 0 \] \[ 11k - 4 = 0 \] \[ 11k = 4 \quad \Rightarrow \quad k = \frac{4}{11} \] Bước 3: Tính tọa độ \( H \) và giá trị \( 3a - b + c \). Thay \( k = \frac{4}{11} \) vào các biểu thức của \( a, b, c \): \[ a = 2 - \frac{4}{11} = \frac{22}{11} - \frac{4}{11} = \frac{18}{11} \] \[ b = -1 + 3 \times \frac{4}{11} = -\frac{11}{11} + \frac{12}{11} = \frac{1}{11} \] \[ c = 1 - \frac{4}{11} = \frac{11}{11} - \frac{4}{11} = \frac{7}{11} \] Tính \( 3a - b + c \): \[ 3a - b + c = 3 \times \frac{18}{11} - \frac{1}{11} + \frac{7}{11} = \frac{54}{11} - \frac{1}{11} + \frac{7}{11} = \frac{60}{11} = \frac{60}{11} \] Vậy giá trị của \( 3a - b + c \) là \(\frac{60}{11}\). Câu 2: Để giải bài toán này, ta cần tìm tọa độ của điểm \( C \) trong hình bình hành \( ABCD \) và sau đó tính giá trị của biểu thức \( 6m - 112n + 18p \). Bước 1: Tìm tọa độ điểm \( B \) Vì \( ABCD \) là hình bình hành, ta có: \[ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} \] Giả sử tọa độ điểm \( B \) là \( (x_B, y_B, z_B) \) và điểm \( C \) là \( (m, n, p) \). Bước 2: Tìm tọa độ điểm \( C \) Vì \( G \) là trọng tâm của tam giác \( \Delta ABC \), ta có: \[ G\left(\frac{1 + x_B + m}{3}, \frac{-1 + y_B + n}{3}, \frac{2 + z_B + p}{3}\right) \] Bước 3: Sử dụng tính chất của hình bình hành Vì \( ABCD \) là hình bình hành, ta có: \[ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} \Rightarrow (x_B - 1, y_B + 1, z_B - 2) = (m - 3, n - 4, p + 1) \] Từ đó, ta có hệ phương trình: \[ \begin{cases} x_B - 1 = m - 3 \\ y_B + 1 = n - 4 \\ z_B - 2 = p + 1 \end{cases} \] Giải hệ phương trình này, ta được: \[ \begin{cases} x_B = m - 2 \\ y_B = n - 5 \\ z_B = p + 3 \end{cases} \] Bước 4: Tìm tọa độ điểm \( C \) từ trọng tâm \( G \) Vì \( G \) là trọng tâm của tam giác \( \Delta ABC \), ta có: \[ G\left(\frac{1 + (m-2) + m}{3}, \frac{-1 + (n-5) + n}{3}, \frac{2 + (p+3) + p}{3}\right) \] Tọa độ của \( G \) là: \[ G\left(\frac{2m - 1}{3}, \frac{2n - 6}{3}, \frac{2p + 5}{3}\right) \] Bước 5: Tính giá trị của biểu thức \( 6m - 112n + 18p \) Từ các phương trình trên, ta có thể tìm ra giá trị của \( m, n, p \) và sau đó tính giá trị của biểu thức \( 6m - 112n + 18p \). Tuy nhiên, do bài toán không cung cấp thêm thông tin về \( G \), ta không thể xác định chính xác tọa độ của \( C \) và do đó không thể tính giá trị của biểu thức \( 6m - 112n + 18p \) mà không có thêm dữ liệu. Nếu có thêm thông tin về tọa độ của \( G \) hoặc một điều kiện khác, ta có thể tiếp tục giải bài toán. Câu 3: Để giải bài toán này, ta cần tìm tọa độ điểm $C(x, y, -1)$ sao cho tam giác $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$. Điều này có nghĩa là hai cạnh $AB$ và $AC$ phải bằng nhau và vuông góc với nhau. Bước 1: Tính vector $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ - Vector $\overrightarrow{AB} = (2 - 3, 1 - 1, -1 - 0) = (-1, 0, -1)$. - Vector $\overrightarrow{AC} = (x - 3, y - 1, -1 - 0) = (x - 3, y - 1, -1)$. Bước 2: Điều kiện vuông góc Hai vector $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ vuông góc khi tích vô hướng của chúng bằng 0: \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (-1)(x - 3) + 0(y - 1) + (-1)(-1) = 0 \] \[ -(x - 3) + 1 = 0 \implies -x + 3 + 1 = 0 \implies x = 4 \] Bước 3: Điều kiện cân Hai cạnh $AB$ và $AC$ bằng nhau: \[ |\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{AC}| \] Tính độ dài các vector: - $|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$. - $|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{(x - 3)^2 + (y - 1)^2 + (-1)^2}$. Vì $x = 4$, thay vào biểu thức độ dài $|\overrightarrow{AC}|$: \[ |\overrightarrow{AC}| = \sqrt{(4 - 3)^2 + (y - 1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + (y - 1)^2 + 1} = \sqrt{2 + (y - 1)^2} \] Để $|\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{AC}|$, ta có: \[ \sqrt{2} = \sqrt{2 + (y - 1)^2} \] Bình phương hai vế: \[ 2 = 2 + (y - 1)^2 \implies (y - 1)^2 = 0 \implies y - 1 = 0 \implies y = 1 \] Kết luận: Vậy tọa độ điểm $C$ là $(4, 1, -1)$. Tổng $x + y = 4 + 1 = 5$. Do đó, $x + y$ bằng 5. Câu 4: Để giải bài toán này, ta cần xác định tọa độ của máy bay sau 4 phút tiếp theo khi nó di chuyển từ điểm $B(720;600;8)$. 1. Tính vector chỉ phương của đường đi: Vector chỉ phương của đường đi từ $A$ đến $B$ là: \[ \overrightarrow{AB} = (720 - 600; 600 - 480; 8 - 6) = (120; 120; 2) \] 2. Tính vận tốc của máy bay: Máy bay di chuyển từ $A$ đến $B$ trong 8 phút, nên vận tốc của máy bay là: \[ \overrightarrow{v} = \left(\frac{120}{8}; \frac{120}{8}; \frac{2}{8}\right) = (15; 15; 0.25) \] 3. Tính tọa độ của máy bay sau 4 phút tiếp theo: Sau 4 phút, máy bay sẽ di chuyển thêm một đoạn bằng 4 lần vector vận tốc: \[ \overrightarrow{BC} = 4 \times (15; 15; 0.25) = (60; 60; 1) \] Tọa độ của điểm $C$ (sau 4 phút từ $B$) là: \[ C = B + \overrightarrow{BC} = (720 + 60; 600 + 60; 8 + 1) = (780; 660; 9) \] 4. Kết luận: Tung độ của máy bay sau 4 phút tiếp theo là 660. Câu 5: Để xác định khoảng cách giữa hai chiếc khinh khí cầu, ta cần xác định tọa độ của chúng trong hệ trục tọa độ Oxyz. 1. Tọa độ của khinh khí cầu thứ nhất: - Cách điểm xuất phát 2 km về phía nam: \( x = 2 \) - Cách điểm xuất phát 1 km về phía đông: \( y = 1 \) - Cách mặt đất 0,5 km: \( z = 0,5 \) Vậy tọa độ của khinh khí cầu thứ nhất là \( (2, 1, 0,5) \). 2. Tọa độ của khinh khí cầu thứ hai: - Cách điểm xuất phát 1 km về phía bắc: \( x = -1 \) - Cách điểm xuất phát 1,5 km về phía tây: \( y = -1,5 \) - Cách mặt đất 0,8 km: \( z = 0,8 \) Vậy tọa độ của khinh khí cầu thứ hai là \( (-1, -1,5, 0,8) \). 3. Tính khoảng cách giữa hai khinh khí cầu: Sử dụng công thức khoảng cách giữa hai điểm trong không gian: \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \] Thay tọa độ vào công thức: \[ d = \sqrt{((-1) - 2)^2 + ((-1,5) - 1)^2 + (0,8 - 0,5)^2} \] \[ d = \sqrt{(-3)^2 + (-2,5)^2 + (0,3)^2} \] \[ d = \sqrt{9 + 6,25 + 0,09} \] \[ d = \sqrt{15,34} \] \[ d \approx 3,92 \] Vậy khoảng cách giữa hai chiếc khinh khí cầu là khoảng \( 3,92 \) km. Câu 6: Để giải bài toán này, ta cần tính khoảng cách từ điểm \( A(20;5;20) \) đến vị trí thang máy có hoành độ \( x = 15 \) và tung độ \( y = 3 \). Bước 1: Xác định tọa độ điểm đến Vì vị trí thang máy có hoành độ \( x = 15 \) và tung độ \( y = 3 \), ta cần tìm tọa độ \( z \) sao cho điểm này nằm trên đường thẳng nối từ \( A \) đến thang máy. Bước 2: Phương trình đường thẳng Phương trình tham số của đường thẳng đi qua \( A(20;5;20) \) và song song với trục \( x \) là: \[ x = 15, \quad y = 3, \quad z = 20 \] Bước 3: Tính khoảng cách Khoảng cách từ \( A(20;5;20) \) đến điểm \( (15;3;20) \) là: \[ d = \sqrt{(15 - 20)^2 + (3 - 5)^2 + (20 - 20)^2} = \sqrt{(-5)^2 + (-2)^2 + 0^2} = \sqrt{25 + 4} = \sqrt{29} \] Bước 4: Tính thời gian di chuyển Với tốc độ 1,3 m/s, thời gian di chuyển là: \[ t = \frac{\sqrt{29}}{1,3} \] Tính toán: \[ \sqrt{29} \approx 5,385 \] \[ t \approx \frac{5,385}{1,3} \approx 4,1 \text{ giây} \] Vậy, chị Lan mất khoảng 4,1 giây để di chuyển từ \( A \) đến thang máy.