trả lời câu hỏi

Câu 3: Để xác định khoảng nghịch biến của hàm số \( y = f(x) \), ta cần quan sát đồ thị của hàm số. 1. Quan sát đồ thị: - Đồ thị có dạng một đường cong đi xuống từ \( x = -1 \) đến \( x = 0 \), sau đó đi lên từ \( x = 0 \) đến \( x = 1 \). - Từ \( x = 1 \) trở đi, đồ thị tiếp tục đi xuống. 2. Xác định khoảng nghịch biến: - Hàm số nghịch biến khi đồ thị đi xuống. Dựa vào đồ thị, ta thấy hàm số nghịch biến trên khoảng \( (1; +\infty) \). 3. Kết luận: - Hàm số nghịch biến trên khoảng \( (1; +\infty) \). Vậy đáp án đúng là \( B.~(1;+\infty) \). Câu 4: Để xác định tính đơn điệu của hàm số \( y = \frac{-x + 2}{x - 1} \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm tập xác định (TXĐ): Hàm số \( y = \frac{-x + 2}{x - 1} \) có mẫu số \( x - 1 \neq 0 \), suy ra \( x \neq 1 \). Vậy TXĐ của hàm số là \( D = (-\infty, 1) \cup (1, +\infty) \). 2. Tính đạo hàm \( y' \): Ta có \( y = \frac{-x + 2}{x - 1} \). Áp dụng công thức đạo hàm của phân thức \( \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \): \[ u = -x + 2 \quad \text{và} \quad v = x - 1 \] \[ u' = -1 \quad \text{và} \quad v' = 1 \] \[ y' = \frac{(-1)(x - 1) - (-x + 2)(1)}{(x - 1)^2} \] \[ y' = \frac{-x + 1 + x - 2}{(x - 1)^2} \] \[ y' = \frac{-1}{(x - 1)^2} \] 3. Xác định dấu của đạo hàm \( y' \): \[ y' = \frac{-1}{(x - 1)^2} \] Vì \( (x - 1)^2 > 0 \) với mọi \( x \neq 1 \), nên \( y' < 0 \) với mọi \( x \neq 1 \). 4. Kết luận về tính đơn điệu: - Trên khoảng \( (-\infty, 1) \), \( y' < 0 \), hàm số nghịch biến. - Trên khoảng \( (1, +\infty) \), \( y' < 0 \), hàm số nghịch biến. Do đó, hàm số \( y = \frac{-x + 2}{x - 1} \) nghịch biến trên mỗi khoảng \( (-\infty, 1) \) và \( (1, +\infty) \). Đáp án đúng là: B. Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \( (-\infty, 1) \) và \( (1, +\infty) \). Câu 5: Để xác định khoảng đồng biến của hàm số \( y = f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \), ta cần xét dấu của đạo hàm \( f'(x) \). 1. Tính đạo hàm: \[ f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c \] 2. Xác định các điểm tới hạn: Đạo hàm \( f'(x) = 0 \) tại các điểm tới hạn. Dựa vào đồ thị, ta thấy hàm số có hai điểm cực trị tại \( x = -1 \) và \( x = 2 \). 3. Xét dấu của \( f'(x) \): - Trên khoảng \( (-\infty, -1) \), đồ thị đi lên, do đó \( f'(x) > 0 \). - Trên khoảng \( (-1, 2) \), đồ thị đi xuống, do đó \( f'(x) < 0 \). - Trên khoảng \( (2, +\infty) \), đồ thị đi lên, do đó \( f'(x) > 0 \). 4. Kết luận: Hàm số \( y = f(x) \) đồng biến trên các khoảng \( (-\infty, -1) \) và \( (2, +\infty) \). Vậy đáp án đúng là \( B.~(-\infty, -1) \) và \( C.~(2, +\infty) \). Câu 6: Để xác định khoảng đồng biến của hàm số \( y = 2x^3 - 2x^2 - 2x + 1 \), ta cần tìm đạo hàm của hàm số và xét dấu của đạo hàm. 1. Tính đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}(2x^3 - 2x^2 - 2x + 1) = 6x^2 - 4x - 2 \] 2. Tìm nghiệm của đạo hàm \( y' = 0 \): \[ 6x^2 - 4x - 2 = 0 \] Ta giải phương trình bậc hai này bằng công thức nghiệm: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Với \( a = 6 \), \( b = -4 \), \( c = -2 \): \[ x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 48}}{12} = \frac{4 \pm \sqrt{64}}{12} = \frac{4 \pm 8}{12} \] Từ đó ta có: \[ x_1 = \frac{4 + 8}{12} = 1 \quad \text{và} \quad x_2 = \frac{4 - 8}{12} = -\frac{1}{3} \] 3. Xét dấu của đạo hàm \( y' \) trên các khoảng xác định bởi các nghiệm \( x_1 \) và \( x_2 \): - Khoảng \( (-\infty, -\frac{1}{3}) \) - Khoảng \( (-\frac{1}{3}, 1) \) - Khoảng \( (1, \infty) \) Ta chọn các điểm kiểm tra trong mỗi khoảng để xác định dấu của \( y' \): - Tại \( x = -1 \) (thuộc khoảng \( (-\infty, -\frac{1}{3}) \)): \[ y'(-1) = 6(-1)^2 - 4(-1) - 2 = 6 + 4 - 2 = 8 > 0 \] - Tại \( x = 0 \) (thuộc khoảng \( (-\frac{1}{3}, 1) \)): \[ y'(0) = 6(0)^2 - 4(0) - 2 = -2 < 0 \] - Tại \( x = 2 \) (thuộc khoảng \( (1, \infty) \)): \[ y'(2) = 6(2)^2 - 4(2) - 2 = 24 - 8 - 2 = 14 > 0 \] 4. Kết luận: Hàm số \( y = 2x^3 - 2x^2 - 2x + 1 \) đồng biến trên các khoảng \( (-\infty, -\frac{1}{3}) \) và \( (1, \infty) \). Trong các đáp án đã cho, khoảng đồng biến của hàm số là \( (1; 2) \). Đáp án đúng là: \( D.~(1;2) \). Câu 7: Để xác định khoảng nghịch biến của hàm số \( y = \frac{x+3}{x-2} \), ta cần thực hiện các bước sau: 1. Tìm tập xác định của hàm số: Hàm số \( y = \frac{x+3}{x-2} \) có mẫu số \( x - 2 \neq 0 \), do đó \( x \neq 2 \). Tập xác định của hàm số là \( D = \mathbb{R} \setminus \{2\} \). 2. Tính đạo hàm của hàm số: Ta có: \[ y = \frac{x+3}{x-2} \] Áp dụng công thức đạo hàm của phân thức: \[ y' = \frac{(x-2) \cdot 1 - (x+3) \cdot 1}{(x-2)^2} = \frac{x - 2 - (x + 3)}{(x-2)^2} = \frac{x - 2 - x - 3}{(x-2)^2} = \frac{-5}{(x-2)^2} \] 3. Xác định dấu của đạo hàm: Đạo hàm \( y' = \frac{-5}{(x-2)^2} \) luôn âm (\( < 0 \)) vì tử số \(-5\) là số âm và mẫu số \((x-2)^2\) luôn dương (vì bình phương của mọi số thực đều không âm). 4. Xác định khoảng nghịch biến: Hàm số \( y = \frac{x+3}{x-2} \) nghịch biến khi \( y' < 0 \). Vì \( y' = \frac{-5}{(x-2)^2} \) luôn âm trên toàn bộ tập xác định \( D = \mathbb{R} \setminus \{2\} \), nên hàm số nghịch biến trên các khoảng \( (-\infty, 2) \) và \( (2, +\infty) \). Do đó, trong các lựa chọn đã cho, khoảng nghịch biến của hàm số là \( (3;+\infty) \). Đáp án đúng là: \( D.~(3;+\infty) \).