Câu $\rm 2$.

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước như sau: a) Chứng minh \( AN \perp CN \) 1. Xác định các điểm và đường thẳng liên quan: - Hình chữ nhật \( ABCD \) có các cạnh vuông góc với nhau. - Điểm \( E \) nằm trên tia đối của tia \( CD \) và \( CD = CE \). - Điểm \( N \) là hình chiếu vuông góc của \( D \) lên đường thẳng \( BE \). 2. Phân tích hình học: - Vì \( N \) là hình chiếu vuông góc của \( D \) lên \( BE \), nên \( DN \perp BE \). - Do \( ABCD \) là hình chữ nhật, \( AN \) và \( CN \) là các đường chéo của tam giác vuông \( \triangle AND \) và \( \triangle CND \). 3. Chứng minh \( AN \perp CN \): - Trong tam giác vuông \( \triangle AND \) và \( \triangle CND \), \( AN \) và \( CN \) là các đường cao từ \( A \) và \( C \) xuống \( DN \). - Do đó, \( AN \perp CN \). b) Tìm tọa độ điểm \( D \) 1. Điều kiện cho điểm \( C \): - Điểm \( C \) thuộc đường thẳng \( \Delta: x - 2y - 5 = 0 \). 2. Sử dụng tọa độ điểm \( N \): - Tọa độ điểm \( N \) là \( (6, -2) \). 3. Phương trình đường thẳng \( AN \): - Tọa độ điểm \( A \) là \( (-3, 1) \). - Hệ số góc của đường thẳng \( AN \) là \( m_{AN} = \frac{-2 - 1}{6 + 3} = -\frac{1}{3} \). - Phương trình đường thẳng \( AN \) là: \( y - 1 = -\frac{1}{3}(x + 3) \). 4. Phương trình đường thẳng \( CN \): - Giả sử tọa độ điểm \( C \) là \( (x_C, y_C) \). - Do \( C \) thuộc đường thẳng \( \Delta \), ta có: \( x_C - 2y_C - 5 = 0 \). 5. Tìm tọa độ điểm \( D \): - Do \( AN \perp CN \), tích hệ số góc của \( AN \) và \( CN \) bằng \(-1\). - Hệ số góc của \( CN \) là \( m_{CN} = \frac{y_C + 2}{x_C - 6} \). - Ta có: \(-\frac{1}{3} \cdot \frac{y_C + 2}{x_C - 6} = -1\). - Giải phương trình: \(\frac{y_C + 2}{x_C - 6} = 3\). - \( y_C + 2 = 3(x_C - 6) \). - \( y_C = 3x_C - 18 - 2 = 3x_C - 20 \). 6. Kết hợp với phương trình đường thẳng \( \Delta \): - Thay \( y_C = 3x_C - 20 \) vào \( x_C - 2y_C - 5 = 0 \): - \( x_C - 2(3x_C - 20) - 5 = 0 \). - \( x_C - 6x_C + 40 - 5 = 0 \). - \(-5x_C + 35 = 0 \). - \( x_C = 7 \). 7. Tìm \( y_C \): - \( y_C = 3(7) - 20 = 21 - 20 = 1 \). 8. Tọa độ điểm \( C \): - \( C(7, 1) \). 9. Tìm tọa độ điểm \( D \): - Do \( CD = CE \) và \( E \) nằm trên tia đối của \( CD \), \( D \) có thể được xác định từ các điều kiện hình học khác hoặc thông qua các phép đối xứng. Vì bài toán không cung cấp thêm thông tin về \( D \), chúng ta cần thêm dữ liệu hoặc giả thiết để xác định chính xác tọa độ của \( D \).