Giúp mình với ạ

Bài 3: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết. 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số \( y = 4x^3 - 3x - 1 \). Bước 1: Tìm tập xác định Hàm số \( y = 4x^3 - 3x - 1 \) là một đa thức bậc ba, do đó tập xác định của hàm số là \( \mathbb{R} \). Bước 2: Tính đạo hàm Tính đạo hàm của hàm số: \[ y' = (4x^3 - 3x - 1)' = 12x^2 - 3. \] Bước 3: Tìm cực trị Giải phương trình \( y' = 0 \): \[ 12x^2 - 3 = 0 \] \[ 12x^2 = 3 \] \[ x^2 = \frac{1}{4} \] \[ x = \pm \frac{1}{2}. \] Tính giá trị hàm số tại các điểm này: - Với \( x = \frac{1}{2} \): \[ y\left(\frac{1}{2}\right) = 4\left(\frac{1}{2}\right)^3 - 3\left(\frac{1}{2}\right) - 1 = \frac{1}{2} - \frac{3}{2} - 1 = -2. \] - Với \( x = -\frac{1}{2} \): \[ y\left(-\frac{1}{2}\right) = 4\left(-\frac{1}{2}\right)^3 - 3\left(-\frac{1}{2}\right) - 1 = -\frac{1}{2} + \frac{3}{2} - 1 = 0. \] Bước 4: Xét dấu đạo hàm - Với \( x < -\frac{1}{2} \), \( y' > 0 \) (hàm số đồng biến). - Với \( -\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2} \), \( y' < 0 \) (hàm số nghịch biến). - Với \( x > \frac{1}{2} \), \( y' > 0 \) (hàm số đồng biến). Bước 5: Kết luận về cực trị - Hàm số có cực đại tại \( x = -\frac{1}{2} \) với giá trị cực đại là \( y = 0 \). - Hàm số có cực tiểu tại \( x = \frac{1}{2} \) với giá trị cực tiểu là \( y = -2 \). Bước 6: Vẽ đồ thị Dựa vào các thông tin trên, ta có thể vẽ đồ thị của hàm số \( y = 4x^3 - 3x - 1 \). 2. Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình \( x^3 - \frac{3}{4}x + m = 0 \). Phương trình đã cho có thể được viết lại dưới dạng: \[ x^3 - \frac{3}{4}x + m = 0. \] Để biện luận số nghiệm thực của phương trình này, ta xét hàm số: \[ f(x) = x^3 - \frac{3}{4}x. \] Đạo hàm của \( f(x) \) là: \[ f'(x) = 3x^2 - \frac{3}{4}. \] Giải phương trình \( f'(x) = 0 \): \[ 3x^2 = \frac{3}{4} \] \[ x^2 = \frac{1}{4} \] \[ x = \pm \frac{1}{2}. \] Tính giá trị của \( f(x) \) tại các điểm này: - \( f\left(\frac{1}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}\right)^3 - \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8} - \frac{3}{8} = -\frac{1}{4}. \) - \( f\left(-\frac{1}{2}\right) = \left(-\frac{1}{2}\right)^3 - \frac{3}{4} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{8} + \frac{3}{8} = \frac{1}{4}. \) Dựa vào đồ thị của hàm số \( y = 4x^3 - 3x - 1 \), ta có: - Nếu \( m > \frac{1}{4} \), phương trình có 1 nghiệm thực. - Nếu \( m = \frac{1}{4} \), phương trình có 2 nghiệm thực. - Nếu \( -\frac{1}{4} < m < \frac{1}{4} \), phương trình có 3 nghiệm thực. - Nếu \( m = -\frac{1}{4} \), phương trình có 2 nghiệm thực. - Nếu \( m < -\frac{1}{4} \), phương trình có 1 nghiệm thực. 3. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến song song với đường thẳng \( (d_1): y = -\frac{15}{9}x + 2010 \). Đường thẳng \( (d_1) \) có hệ số góc là \( -\frac{15}{9} = -\frac{5}{3} \). Tiếp tuyến của đồ thị \( (C) \) song song với \( (d_1) \) cũng có hệ số góc \( -\frac{5}{3} \). Do đó, ta cần tìm \( x_0 \) sao cho: \[ y'(x_0) = -\frac{5}{3}. \] Từ \( y' = 12x^2 - 3 \), ta có: \[ 12x_0^2 - 3 = -\frac{5}{3} \] \[ 12x_0^2 = -\frac{5}{3} + 3 \] \[ 12x_0^2 = \frac{4}{3} \] \[ x_0^2 = \frac{1}{9} \] \[ x_0 = \pm \frac{1}{3}. \] Tính giá trị hàm số tại các điểm này: - Với \( x_0 = \frac{1}{3} \): \[ y\left(\frac{1}{3}\right) = 4\left(\frac{1}{3}\right)^3 - 3\left(\frac{1}{3}\right) - 1 = \frac{4}{27} - 1 - 1 = -\frac{23}{27}. \] - Với \( x_0 = -\frac{1}{3} \): \[ y\left(-\frac{1}{3}\right) = 4\left(-\frac{1}{3}\right)^3 - 3\left(-\frac{1}{3}\right) - 1 = -\frac{4}{27} + 1 - 1 = -\frac{4}{27}. \] Phương trình tiếp tuyến tại \( x_0 = \frac{1}{3} \) là: \[ y = -\frac{5}{3}(x - \frac{1}{3}) - \frac{23}{27}. \] Phương trình tiếp tuyến tại \( x_0 = -\frac{1}{3} \) là: \[ y = -\frac{5}{3}(x + \frac{1}{3}) - \frac{4}{27}. \] Vậy, có hai phương trình tiếp tuyến song song với \( (d_1) \): 1. \( y = -\frac{5}{3}x + \frac{5}{9} - \frac{23}{27} \). 2. \( y = -\frac{5}{3}x - \frac{5}{9} - \frac{4}{27} \).