Giúp em với ạ

Bài 4: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số \( y = 2x^3 - 3x^2 - 1 \). Bước 1: Tìm tập xác định Hàm số \( y = 2x^3 - 3x^2 - 1 \) là một đa thức bậc ba, do đó tập xác định của hàm số là \( \mathbb{R} \). Bước 2: Tính đạo hàm Tính đạo hàm của hàm số: \[ y' = (2x^3 - 3x^2 - 1)' = 6x^2 - 6x. \] Bước 3: Tìm các điểm cực trị Giải phương trình \( y' = 0 \): \[ 6x^2 - 6x = 0 \] \[ 6x(x - 1) = 0 \] \[ \Rightarrow x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = 1. \] Tính giá trị của hàm số tại các điểm này: - Với \( x = 0 \): \( y = 2(0)^3 - 3(0)^2 - 1 = -1 \). - Với \( x = 1 \): \( y = 2(1)^3 - 3(1)^2 - 1 = -2 \). Bước 4: Xét dấu đạo hàm và tính đơn điệu - Trên khoảng \( (-\infty, 0) \), chọn \( x = -1 \), ta có \( y'(-1) = 6(-1)^2 - 6(-1) = 12 > 0 \) nên hàm số đồng biến. - Trên khoảng \( (0, 1) \), chọn \( x = 0.5 \), ta có \( y'(0.5) = 6(0.5)^2 - 6(0.5) = -1.5 < 0 \) nên hàm số nghịch biến. - Trên khoảng \( (1, +\infty) \), chọn \( x = 2 \), ta có \( y'(2) = 6(2)^2 - 6(2) = 12 > 0 \) nên hàm số đồng biến. Bước 5: Kết luận về cực trị - Hàm số có cực đại tại \( x = 0 \) với giá trị cực đại là \( y = -1 \). - Hàm số có cực tiểu tại \( x = 1 \) với giá trị cực tiểu là \( y = -2 \). Bước 6: Vẽ đồ thị Dựa vào các thông tin trên, ta có thể phác thảo đồ thị của hàm số \( y = 2x^3 - 3x^2 - 1 \). 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng \( (d_1): y = \frac{2}{3}x + 2010 \). Bước 1: Tìm hệ số góc của tiếp tuyến Đường thẳng \( (d_1) \) có hệ số góc là \( \frac{2}{3} \). Tiếp tuyến vuông góc với \( (d_1) \) sẽ có hệ số góc \( m \) thỏa mãn: \[ m \cdot \frac{2}{3} = -1 \] \[ \Rightarrow m = -\frac{3}{2}. \] Bước 2: Tìm điểm tiếp xúc Phương trình tiếp tuyến của đồ thị \( (C) \) tại điểm \( (x_0, y_0) \) có dạng: \[ y - y_0 = m(x - x_0). \] Với \( m = -\frac{3}{2} \), ta có: \[ y' = 6x^2 - 6x = -\frac{3}{2}. \] Giải phương trình: \[ 6x^2 - 6x = -\frac{3}{2} \] \[ 12x^2 - 12x + 3 = 0 \] \[ 4x^2 - 4x + 1 = 0. \] Giải phương trình bậc hai: \[ \Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 0. \] \[ \Rightarrow x = \frac{-b}{2a} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}. \] Tính \( y_0 \) khi \( x_0 = \frac{1}{2} \): \[ y_0 = 2\left(\frac{1}{2}\right)^3 - 3\left(\frac{1}{2}\right)^2 - 1 = \frac{1}{4} - \frac{3}{4} - 1 = -\frac{3}{2}. \] Bước 3: Viết phương trình tiếp tuyến Phương trình tiếp tuyến tại \( \left(\frac{1}{2}, -\frac{3}{2}\right) \) là: \[ y + \frac{3}{2} = -\frac{3}{2}\left(x - \frac{1}{2}\right). \] \[ y + \frac{3}{2} = -\frac{3}{2}x + \frac{3}{4}. \] \[ y = -\frac{3}{2}x - \frac{3}{4} - \frac{3}{2}. \] \[ y = -\frac{3}{2}x - \frac{9}{4}. \] Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: \[ y = -\frac{3}{2}x - \frac{9}{4}. \]