giai bai tap nay cho toi

Câu 1: Để tìm nguyên hàm \( F(x) \) của hàm số \( f(x) = 3x^2 + 2x - 6 \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm nguyên hàm của mỗi hạng tử trong \( f(x) \). Nguyên hàm của \( 3x^2 \): \[ \int 3x^2 \, dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} = x^3 \] Nguyên hàm của \( 2x \): \[ \int 2x \, dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} = x^2 \] Nguyên hàm của \( -6 \): \[ \int -6 \, dx = -6x \] Bước 2: Kết hợp các nguyên hàm trên để tìm \( F(x) \): \[ F(x) = x^3 + x^2 - 6x + C \] Trong đó \( C \) là hằng số tích phân. Bước 3: So sánh với \( F(x) = ax^3 + bx^2 + cx \) để xác định các hệ số \( a \), \( b \), và \( c \): \[ F(x) = x^3 + x^2 - 6x + C \] \[ F(x) = ax^3 + bx^2 + cx \] Ta có: \[ a = 1, \quad b = 1, \quad c = -6 \] Bước 4: Tính tổng \( a + b + c \): \[ a + b + c = 1 + 1 + (-6) = -4 \] Vậy, \( a + b + c = -4 \). Câu 2: Ta có: \[ F'(x) = f(x) \Leftrightarrow -\frac{5}{ax^6} - \frac{6}{bx^7} = -\frac{1}{x^6} + \frac{1}{x^7} \] Suy ra: \[ \left( \frac{5}{a} - \frac{6}{b} \right)x + 5 = 0 \quad \forall x \neq 0 \] Do đó: \[ \begin{cases} \frac{5}{a} - \frac{6}{b} = 0 \\ 5 = 0 \end{cases} \] Giải hệ phương trình này ta được: \[ \begin{cases} a = 5 \\ b = 6 \end{cases} \] Vậy: \[ a + b = 5 + 6 = 11 \] Câu 3: Để tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = \frac{5}{x^6} + \frac{2}{x^7} \), ta sẽ thực hiện từng bước như sau: Bước 1: Viết lại hàm số dưới dạng lũy thừa: \[ f(x) = 5x^{-6} + 2x^{-7} \] Bước 2: Tìm nguyên hàm của mỗi hạng tử riêng lẻ. - Nguyên hàm của \( 5x^{-6} \): \[ \int 5x^{-6} \, dx = 5 \int x^{-6} \, dx = 5 \cdot \frac{x^{-5}}{-5} + C_1 = -\frac{1}{x^5} + C_1 \] - Nguyên hàm của \( 2x^{-7} \): \[ \int 2x^{-7} \, dx = 2 \int x^{-7} \, dx = 2 \cdot \frac{x^{-6}}{-6} + C_2 = -\frac{1}{3x^6} + C_2 \] Bước 3: Kết hợp các nguyên hàm đã tìm được: \[ F(x) = -\frac{1}{x^5} - \frac{1}{3x^6} + C \] So sánh với biểu thức đã cho \( F(x) = a \cdot \frac{1}{x^5} + b \cdot \frac{1}{x^6} \), ta có: \[ a = -1 \] \[ b = -\frac{1}{3} \] Bước 4: Tính \( a + 12b \): \[ a + 12b = -1 + 12 \left( -\frac{1}{3} \right) = -1 - 4 = -5 \] Vậy, \( a + 12b = -5 \). Câu 4: Để tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = \sqrt{x} + \sqrt[3]{x} \), chúng ta sẽ tính nguyên hàm của từng phần riêng lẻ. 1. Tìm nguyên hàm của \( \sqrt{x} \): \[ \int \sqrt{x} \, dx = \int x^{1/2} \, dx \] Áp dụng công thức nguyên hàm \( \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \) với \( n \neq -1 \): \[ \int x^{1/2} \, dx = \frac{x^{1/2 + 1}}{1/2 + 1} + C = \frac{x^{3/2}}{3/2} + C = \frac{2}{3} x^{3/2} + C \] Do đó: \[ \int \sqrt{x} \, dx = \frac{2}{3} x^{3/2} + C \] 2. Tìm nguyên hàm của \( \sqrt[3]{x} \): \[ \int \sqrt[3]{x} \, dx = \int x^{1/3} \, dx \] Áp dụng công thức nguyên hàm \( \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \) với \( n \neq -1 \): \[ \int x^{1/3} \, dx = \frac{x^{1/3 + 1}}{1/3 + 1} + C = \frac{x^{4/3}}{4/3} + C = \frac{3}{4} x^{4/3} + C \] Do đó: \[ \int \sqrt[3]{x} \, dx = \frac{3}{4} x^{4/3} + C \] Kết hợp hai kết quả trên, ta có nguyên hàm của \( f(x) \): \[ F(x) = \frac{2}{3} x^{3/2} + \frac{3}{4} x^{4/3} + C \] So sánh với \( F(x) = a \sqrt{x^3} + b \sqrt[3]{x^4} + C \): - Ta thấy \( \frac{2}{3} x^{3/2} = \frac{2}{3} \sqrt{x^3} \), do đó \( a = \frac{2}{3} \). - Ta thấy \( \frac{3}{4} x^{4/3} = \frac{3}{4} \sqrt[3]{x^4} \), do đó \( b = \frac{3}{4} \). Tính \( 3a + 4b \): \[ 3a + 4b = 3 \left( \frac{2}{3} \right) + 4 \left( \frac{3}{4} \right) = 2 + 3 = 5 \] Vậy đáp án là: \[ 3a + 4b = 5 \] Câu 5: Ta có: \[ F(x) = \int f(x) \, dx = \int \left( \frac{2}{\sqrt{x}} + 3^x + 3x - 2 \right) \, dx \] Ta sẽ tính từng phần riêng lẻ: 1. Tích phân của $\frac{2}{\sqrt{x}}$: \[ \int \frac{2}{\sqrt{x}} \, dx = \int 2x^{-\frac{1}{2}} \, dx = 2 \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} = 4\sqrt{x} \] Do đó, $a = 4$. 2. Tích phân của $3^x$: \[ \int 3^x \, dx = \frac{3^x}{\ln 3} \] Do đó, $b = 3$. 3. Tích phân của $3x$: \[ \int 3x \, dx = \frac{3x^2}{2} \] Do đó, $c = \frac{3}{2}$. 4. Tích phân của $-2$: \[ \int -2 \, dx = -2x \] Do đó, $d = -2$. Vậy, nguyên hàm $F(x)$ là: \[ F(x) = 4\sqrt{x} + \frac{3^x}{\ln 3} + \frac{3}{2}x^2 - 2x + C \] Từ đó, ta có: \[ a = 4, \quad b = 3, \quad c = \frac{3}{2}, \quad d = -2 \] Tính $a + b + 2c + d$: \[ a + b + 2c + d = 4 + 3 + 2 \cdot \frac{3}{2} - 2 = 4 + 3 + 3 - 2 = 8 \] Đáp án cuối cùng: \[ a + b + 2c + d = 8 \] Câu 6: Để tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = \frac{2}{\sqrt{x}} + \frac{6}{\sqrt[3]{x}} \), ta sẽ thực hiện từng bước như sau: Bước 1: Viết lại hàm số dưới dạng lũy thừa: \[ f(x) = 2x^{-\frac{1}{2}} + 6x^{-\frac{1}{3}} \] Bước 2: Tìm nguyên hàm của mỗi phần riêng lẻ: - Nguyên hàm của \( 2x^{-\frac{1}{2}} \): \[ \int 2x^{-\frac{1}{2}} \, dx = 2 \int x^{-\frac{1}{2}} \, dx = 2 \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} = 2 \cdot 2x^{\frac{1}{2}} = 4x^{\frac{1}{2}} = 4\sqrt{x} \] - Nguyên hàm của \( 6x^{-\frac{1}{3}} \): \[ \int 6x^{-\frac{1}{3}} \, dx = 6 \int x^{-\frac{1}{3}} \, dx = 6 \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}}}{\frac{2}{3}} = 6 \cdot \frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}} = 9x^{\frac{2}{3}} = 9\sqrt[3]{x^2} \] Bước 3: Kết hợp các nguyên hàm đã tìm được: \[ F(x) = 4\sqrt{x} + 9\sqrt[3]{x^2} \] So sánh với \( F(x) = a\sqrt{x} + b\sqrt[3]{x^2} \), ta thấy: \[ a = 4 \] \[ b = 9 \] Bước 4: Tính \( a + b \): \[ a + b = 4 + 9 = 13 \] Vậy, \( a + b = 13 \). Câu 7: Để tìm nguyên hàm \( F(x) = ax^2 + bx + c \ln|x| \) của hàm số \( f(x) = \frac{(3x-5)^2}{x} \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm đạo hàm của \( F(x) \): \[ F'(x) = \frac{d}{dx}(ax^2 + bx + c \ln|x|) = 2ax + b + \frac{c}{x}. \] Bước 2: Đặt \( F'(x) \) bằng \( f(x) \): \[ 2ax + b + \frac{c}{x} = \frac{(3x-5)^2}{x}. \] Bước 3: Rút gọn vế phải: \[ \frac{(3x-5)^2}{x} = \frac{9x^2 - 30x + 25}{x} = 9x - 30 + \frac{25}{x}. \] Bước 4: So sánh các hệ số tương ứng: \[ 2ax + b + \frac{c}{x} = 9x - 30 + \frac{25}{x}. \] Từ đó, ta có: \[ 2a = 9 \implies a = \frac{9}{2}, \] \[ b = -30, \] \[ c = 25. \] Bước 5: Tính \( 2a + b + c \): \[ 2a + b + c = 2 \left( \frac{9}{2} \right) + (-30) + 25 = 9 - 30 + 25 = 4. \] Vậy, \( 2a + b + c = 4 \). Câu 8: Để tìm nguyên hàm \( F(x) \) của hàm số \( f(x) = 3x^2 + 4x \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm nguyên hàm tổng quát của \( f(x) \). Nguyên hàm của \( 3x^2 \) là: \[ \int 3x^2 \, dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} = x^3 + C_1 \] Nguyên hàm của \( 4x \) là: \[ \int 4x \, dx = 4 \cdot \frac{x^2}{2} = 2x^2 + C_2 \] Do đó, nguyên hàm tổng quát của \( f(x) \) là: \[ F(x) = x^3 + 2x^2 + C \] trong đó \( C \) là hằng số tích phân. Bước 2: Xác định hằng số \( C \) dựa trên điều kiện ban đầu \( F(-1) = 2025 \). Thay \( x = -1 \) vào \( F(x) \): \[ F(-1) = (-1)^3 + 2(-1)^2 + C = -1 + 2 + C = 1 + C \] Theo điều kiện \( F(-1) = 2025 \): \[ 1 + C = 2025 \] \[ C = 2024 \] Bước 3: Viết biểu thức cụ thể của \( F(x) \). \[ F(x) = x^3 + 2x^2 + 2024 \] Bước 4: Tính \( F(1) \). Thay \( x = 1 \) vào \( F(x) \): \[ F(1) = (1)^3 + 2(1)^2 + 2024 = 1 + 2 + 2024 = 2027 \] Vậy, giá trị của \( F(1) \) là: \[ F(1) = 2027 \]